Номер 16.8, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.8, страница 48.

Решите уравнение:

16.8 a) $sin t = \frac{\sqrt{3}}{2};$

б) $sin t = \frac{\sqrt{2}}{2};$

в) $sin t = 1;$

г) $sin t = \frac{1}{2}.$

а) Исходное уравнение: $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\sin t = a$, где $|a| \le 1$, находится по формуле: $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Находим главное значение угла (арксинус): $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула объединяет две серии решений: $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем ту же общую формулу для решения уравнений вида $\sin t = a$: $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в формулу и получаем общее решение:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула объединяет две серии решений: $t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin t = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице только в одной точке на единичной окружности, которая соответствует углу $\frac{\pi}{2}$.
Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения получаются добавлением к этому значению целого числа полных оборотов.
Следовательно, решение можно записать в виде:
$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin t = \frac{1}{2}$.
Применяем общую формулу решения $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В этом уравнении $a = \frac{1}{2}$.
Находим значение арксинуса: $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляя это значение в общую формулу, находим решение:
$t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эта формула объединяет две серии решений: $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $t = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.