Номер 16.1, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.1, страница 47.

16.1 a) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $;

б) $ \arcsin 1 $;

в) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} $;

г) $ \arcsin 0 $.

а) Чтобы найти значение выражения $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Согласно определению арксинуса, мы ищем угол $\alpha$, для которого выполняются два условия:

1. $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку значение $\frac{\pi}{3}$ входит в промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, оно и является искомым значением арксинуса.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Чтобы найти значение выражения $\arcsin 1$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1.

Мы ищем угол $\alpha$, для которого:

1. $\sin\alpha = 1$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Известно, что синус равен 1 при угле $\alpha = \frac{\pi}{2}$.

Это значение принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, следовательно, оно является решением.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) Чтобы найти значение выражения $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ищем угол $\alpha$, для которого:

1. $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Это табличное значение. Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поэтому это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

г) Чтобы найти значение выражения $\arcsin 0$, необходимо найти такой угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0.

Ищем угол $\alpha$, для которого:

1. $\sin\alpha = 0$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Уравнение $\sin\alpha = 0$ имеет решения $\alpha = \pi k$, где $k$ – любое целое число. Например, $...-\pi, 0, \pi, 2\pi...$

Из всех этих решений нам нужно выбрать то, которое лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Этому условию удовлетворяет только $\alpha = 0$.

Ответ: $0$