Номер 15.22, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.22, страница 47.

15.22 a) $ \text{tg} \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right); $

б) $ \text{ctg} \left( \arccos \frac{4}{5} \right). $

а) $tg\left(arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$

Пусть $α = arccos\left(-\frac{5}{13}\right)$. По определению арккосинуса, это означает, что $cos(α) = -\frac{5}{13}$ и угол $α$ находится в промежутке $[0, π]$. Так как косинус отрицателен, угол $α$ лежит во второй четверти, то есть $α \in \left[\frac{π}{2}, π\right]$.

Для нахождения тангенса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$. Найдем синус угла $α$: $sin^2(α) = 1 - cos^2(α) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда $sin(α) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$. Поскольку угол $α$ находится во второй четверти, его синус положителен, следовательно, $sin(α) = \frac{12}{13}$. Теперь мы можем найти тангенс: $tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $-\frac{12}{5}$

б) $ctg\left(arccos\left(\frac{4}{5}\right)\right)$

Пусть $β = arccos\left(\frac{4}{5}\right)$. По определению арккосинуса, $cos(β) = \frac{4}{5}$ и угол $β$ находится в промежутке $[0, π]$. Так как косинус положителен, угол $β$ лежит в первой четверти, то есть $β \in \left[0, \frac{π}{2}\right]$.

Чтобы найти котангенс, нам нужен синус этого угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2(β) + cos^2(β) = 1$. $sin^2(β) = 1 - cos^2(β) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$.

Отсюда $sin(β) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$. Поскольку угол $β$ находится в первой четверти, его синус положителен, значит $sin(β) = \frac{3}{5}$. Теперь вычислим котангенс: $ctg(β) = \frac{cos(β)}{sin(β)} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$