Номер 15.15, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.15, страница 46.

15.15 a) $\cos x = \frac{1}{2}$, $x \in (1; 6);$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x \in (2; 10);$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in \left(-\frac{\pi}{4}; 12\right);$

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in \left(-4; \frac{5\pi}{4}\right).$

а) Решим уравнение $cos x = \frac{1}{2}$ на интервале $x \in (1; 6)$.
Общее решение уравнения $cos x = \frac{1}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для оценки будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Тогда интервал $(1; 6)$ остается без изменений. $\frac{\pi}{3} \approx 1,05$, а $2\pi \approx 6,28$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу, перебирая целочисленные значения $k$.
1. Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{3} \approx 1,05$. Так как $1 < 1,05 < 6$, корень $x = \frac{\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7,33$, что больше 6.
• При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \approx -5,24$, что меньше 1.

2. Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{3} \approx -1,05$, что меньше 1.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \approx 5,24$. Так как $1 < 5,24 < 6$, корень $x = \frac{5\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 11,52$, что больше 6.

Таким образом, в указанный интервал попадают два корня.
Ответ: $\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}$.

б) Решим уравнение $cos x = -\frac{1}{2}$ на интервале $x \in (2; 10)$.
Общее решение уравнения $cos x = -\frac{1}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{2\pi}{3} \approx 2,09$ и $2\pi \approx 6,28$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу.
1. Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{2\pi}{3} \approx 2,09$. Так как $2 < 2,09 < 10$, корень $x = \frac{2\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8,37$. Так как $2 < 8,37 < 10$, корень $x = \frac{8\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \approx 14,65$, что больше 10.

2. Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2,09$, что меньше 2.
• При $k = 1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4,19$. Так как $2 < 4,19 < 10$, корень $x = \frac{4\pi}{3}$ подходит.
• При $k = 2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 10,47$, что больше 10.

Таким образом, в указанный интервал попадают три корня.
Ответ: $\frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$.

в) Решим уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $x \in (-\frac{\pi}{4}; 12)$.
Общее решение уравнения $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Приближенно интервал можно записать как $(-0,785; 12)$, используя $\pi \approx 3,14$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу.
1. Для серии $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0,785$. Корень подходит, так как $-\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} < 12$.
• При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7,07$. Корень подходит, так как $7,07 < 12$.
• При $k = 2$, $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \approx 13,35$, что больше 12.

2. Для серии $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Этот корень не подходит, так как он является левой границей интервала, а интервал открытый.
• При $k = 1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5,5$. Корень подходит, так как $5,5 < 12$.
• При $k = 2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} \approx 11,78$. Корень подходит, так как $11,78 < 12$.
• При $k = 3$, $x = -\frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{23\pi}{4} \approx 18,06$, что больше 12.

Таким образом, в указанный интервал попадают четыре корня.
Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}$.

г) Решим уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $x \in (-4; \frac{5\pi}{4})$.
Общее решение уравнения $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет вид $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Приближенно интервал можно записать как $(-4; 3,93)$, используя $\pi \approx 3,14$.
Найдем корни, принадлежащие заданному интервалу.
1. Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = \frac{3\pi}{4} \approx 2,36$. Корень подходит, так как $-4 < 2,36 < 3,93$.
• При $k = 1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8,64$, что больше $\frac{5\pi}{4}$.
• При $k = -1$, $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} = -1,25\pi \approx -3,925$. Корень подходит, так как $-4 < -3,925 < 3,93$.

2. Для серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{3\pi}{4} \approx -2,36$. Корень подходит, так как $-4 < -2,36 < 3,93$.
• При $k = 1$, $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$. Этот корень не подходит, так как он является правой границей интервала, а интервал открытый.
• При $k = -1$, $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8,64$, что меньше -4.

Таким образом, в указанный интервал попадают три корня.
Ответ: $-\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}$.