Номер 15.11, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.11, страница 45.

15.11 Докажите тождество

$tg(\arccos 0,1 + \arccos (-0,1) + x) = tg x.$

Для доказательства тождества $tg(\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) + x) = tg(x)$ необходимо преобразовать его левую часть.

Рассмотрим сумму арккосинусов в аргументе тангенса: $\arccos(0,1) + \arccos(-0,1)$.

Воспользуемся общим свойством функции арккосинус: для любого числа $a$ из отрезка $[-1, 1]$ справедливо равенство $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$.

Докажем это свойство. Пусть $\alpha = \arccos(a)$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$. Известно тригонометрическое тождество $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Подставив $\cos(\alpha) = a$, получаем $\cos(\pi - \alpha) = -a$. Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то и для угла $(\pi - \alpha)$ выполняется неравенство $0 \le \pi - \alpha \le \pi$. Таким образом, угол $(\pi - \alpha)$ находится в области значений арккосинуса и его косинус равен $-a$. Следовательно, по определению арккосинуса, мы можем записать: $\arccos(-a) = \pi - \alpha$. Заменив $\alpha$ обратно на $\arccos(a)$, получаем $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, откуда и следует доказываемое свойство: $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$.

Применим это свойство к нашему случаю, где $a = 0,1$: $\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) = \pi$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного тождества: $tg(\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) + x) = tg(\pi + x)$.

Функция тангенса является периодической, и её наименьший положительный период равен $\pi$. Это означает, что для любого угла $\alpha$, для которого тангенс определён, выполняется равенство $tg(\alpha + k\pi) = tg(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

В нашем случае $k=1$, поэтому: $tg(\pi + x) = tg(x)$.

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного тождества равна $tg(x)$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Левая часть $tg(\arccos(0,1) + \arccos(-0,1) + x)$ преобразуется к виду $tg(\pi + x)$ на основе свойства $\arccos(a) + \arccos(-a) = \pi$. В силу периодичности функции тангенса с периодом $\pi$, выражение $tg(\pi + x)$ равно $tg(x)$, что и требовалось доказать.