Номер 15.6, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.6, страница 45.

15.6 a) $cos t = -1;$

Б) $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

В) $cos t = -\frac{1}{2};$

Г) $cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

а)

Дано простейшее тригонометрическое уравнение $cos t = -1$.

Это частный случай решения тригонометрических уравнений. На единичной окружности косинус угла соответствует абсциссе (координате x) точки. Значение -1 достигается в единственной точке окружности, которая соответствует углу $\pi$.

Так как функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, то все решения уравнения можно найти, прибавляя к частному решению $\pi$ целое число полных оборотов $2\pi n$.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

$t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $t = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $cos t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение уравнения вида $cos t = a$ (где $|a| \le 1$) находится по формуле:

$t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$.

Для нахождения значения арккосинуса отрицательного числа используем тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу решения:

$t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $cos t = -\frac{1}{2}$.

Воспользуемся общей формулой для решения уравнений вида $cos t = a$:

$t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$.

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$.

Применим свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$:

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Тогда $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Записываем общее решение:

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$.

Используем тождество $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$:

$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Табличное значение $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Получаем $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем найденное значение в формулу общего решения:

$t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.