Номер 14.22, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.22, страница 43.

14.22 a) $y = \sin^2(\operatorname{tg}x) + \cos^2(\operatorname{tg}x);$

б) $y = 2 \cos^2(\operatorname{ctg}x) + 2 \sin^2(\operatorname{ctg}x).$

а)

Дана функция $y = \sin^2(\operatorname{tg}x) + \cos^2(\operatorname{tg}x)$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого действительного аргумента $\alpha$ выполняется равенство: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

В данном выражении в качестве аргумента $\alpha$ выступает функция $\operatorname{tg}x$. Таким образом, мы можем положить $\alpha = \operatorname{tg}x$.

Применяя тождество, получаем: $y = \sin^2(\operatorname{tg}x) + \cos^2(\operatorname{tg}x) = 1$.

Однако, это равенство справедливо только в области определения исходной функции. Функция $y$ определена для всех значений $x$, при которых определен $\operatorname{tg}x$. Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, функция $y$ равна 1 для всех $x$ из ее области определения.

Ответ: $y = 1$ при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана функция $y = 2\cos^2(\operatorname{ctg}x) + 2\sin^2(\operatorname{ctg}x)$.

Для начала вынесем общий множитель 2 за скобки: $y = 2(\cos^2(\operatorname{ctg}x) + \sin^2(\operatorname{ctg}x))$.

Выражение в скобках, $\cos^2(\operatorname{ctg}x) + \sin^2(\operatorname{ctg}x)$, снова соответствует основному тригонометрическому тождеству $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$.

Здесь в качестве аргумента $\alpha$ выступает функция $\operatorname{ctg}x$. Полагая $\alpha = \operatorname{ctg}x$, получаем, что выражение в скобках равно 1.

Подставим это значение в наше выражение для $y$: $y = 2 \cdot 1 = 2$.

Это равенство справедливо в области определения исходной функции. Функция $y$ определена для всех значений $x$, при которых определен $\operatorname{ctg}x$. Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, функция $y$ равна 2 для всех $x$ из ее области определения.

Ответ: $y = 2$ при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.