Номер 15.2, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.2, страница 44.

15.2 а) $arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

б) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $arccos(-1)$;

г) $arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

а) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

По определению, арккосинус числа $x$, обозначаемый как $\arccos(x)$, — это угол $\alpha$ в радианах из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = x$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется тождество: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

Применим это тождество к данному выражению, где $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что косинус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение в наше выражение:

$\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Значение $\frac{3\pi}{4}$ находится в отрезке $[0; \pi]$, следовательно, это и есть искомый результат.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Воспользуемся тем же тождеством, что и в предыдущем пункте: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Значит, $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение:

$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

в) $\arccos(-1)$

Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что его косинус равен $-1$.

Обратившись к единичной окружности или графику функции косинуса, мы видим, что $\cos(\alpha) = -1$ при $\alpha = \pi$.

Значение $\pi$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.

Ответ: $\pi$

г) $\arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

Нам нужно найти такой угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что его косинус равен $\frac{1}{2}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, поэтому это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$