Номер 14.19, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.19, страница 43.

14.19 a) $y = -tgx$;

б) $y = -tgx + 1$;

В) $y = -tg\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$;

Г) $y = -tg\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2.

Для решения задачи проанализируем каждую функцию, определив ее основные свойства: область определения, область значений, период, четность, асимптоты, нули и характер монотонности. Также опишем, как получить график каждой функции из графика базовой функции $y = \tg x$.

а) $y = -\tg x$

График функции $y = -\tg x$ получается из графика функции $y = \tg x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). При этом функция $y = \tg x$, возрастающая на каждом интервале области определения, становится убывающей.

Ответ:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Запись: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
• Область значений: Все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: Основной период $T = \pi$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = -\tg(-x) = -(-\tg x) = \tg x = -(-\tg x)$, что не равно $y(x)$, но равно $-y(x)$ (Ошибка в рассуждении. Правильно: $y(x) = -\tg x$. $y(-x) = -\tg(-x) = -(-\tg x) = \tg x$. $-y(x) = -(-\tg x) = \tg x$. Следовательно, $y(-x) = -y(x)$, функция нечетная). График симметричен относительно начала координат.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\tg x = 0$, то есть при $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -\tg x + 1$

График функции $y = -\tg x + 1$ получается из графика функции $y = -\tg x$ (рассмотренного в пункте а)) путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Ответ:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как $y(-x) = -\tg(-x) + 1 = \tg x + 1$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\tg x + 1 = 0 \Rightarrow \tg x = 1$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$

График функции $y = -\tg(x - \frac{\pi}{2})$ получается из графика функции $y = -\tg x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{2}$ вправо вдоль оси абсцисс. Используя формулы приведения, можно упростить выражение: $\tg(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$. Таким образом, $y = -(-\cot x) = \cot x$. Следовательно, данная функция тождественно равна котангенсу.

Ответ:

• Область определения: Все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Запись: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Четность: Функция является нечетной, так как $y(x) = \cot x$ и $\cot(-x) = -\cot x = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $\cot x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов $(\pi n; \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2$

График данной функции получается из графика $y = -\tg x$ двумя последовательными преобразованиями: параллельным переносом на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси $Ox$ и параллельным переносом на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ:

• Область определения: Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$. $x + \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Четность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Вертикальные асимптоты: Прямые вида $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-\tg(x + \frac{\pi}{3}) - 2 = 0 \Rightarrow \tg(x + \frac{\pi}{3}) = -2$. Отсюда $x + \frac{\pi}{3} = \arctan(-2) + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} - \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(\frac{\pi}{6} - \pi; \frac{\pi}{6}) + \pi n = (-\frac{5\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.