Номер 14.13, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.13, страница 42.

14.13 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Докажите, что $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$.

По условию задачи дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \tg x$. Необходимо доказать, что $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$.

Для доказательства подставим определение функции $f(x)$ в левую часть равенства:
$f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = \tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x)$.

Далее воспользуемся свойствами тригонометрической функции тангенс для упрощения каждого слагаемого.

1. Периодичность тангенса. Функция $y = \tg x$ является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. Это означает, что $\tg(\alpha + k\pi) = \tg(\alpha)$ для любого целого числа $k$.
Для первого слагаемого $\tg(2x + 2\pi)$ имеем $k=2$. Следовательно:
$\tg(2x + 2\pi) = \tg(2x)$.

Для второго слагаемого $\tg(7\pi - 2x)$ имеем $k=7$. Следовательно:
$\tg(7\pi - 2x) = \tg(-2x + 7\pi) = \tg(-2x)$.

2. Нечетность тангенса. Функция $y = \tg x$ является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\tg(-x) = -\tg x$.
Применив это свойство ко второму слагаемому, получаем:
$\tg(-2x) = -\tg(2x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную сумму:
$\tg(2x + 2\pi) + \tg(7\pi - 2x) = \tg(2x) + (-\tg(2x)) = \tg(2x) - \tg(2x) = 0$.

Мы получили, что левая часть равенства равна 0, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $f(2x + 2\pi) + f(7\pi - 2x) = 0$ доказано.