Номер 14.15, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.15, страница 43.

14.15 Докажите, что данное число $T$ является периодом заданной функции:

а) $y = \text{tg } 2x, T = \frac{\pi}{2};$

б) $y = \text{tg } \frac{x}{3}, T = 3\pi;$

в) $y = \text{tg } 5x, T = \frac{\pi}{5};$

г) $y = \text{tg } \frac{2x}{5}, T = \frac{5\pi}{2}.$

а) Чтобы доказать, что число $T$ является периодом функции $y(x)$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(x+T) = y(x)$.

Для функции $y = \tg(2x)$ и периода $T = \frac{\pi}{2}$ проверим это условие.Область определения функции задается условием $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - любое целое число. Если $x$ принадлежит области определения, то и $x+T$ также принадлежит ей, так как $2(x+T) = 2x+\pi$, а сдвиг на $\pi$ не выводит аргумент тангенса за пределы области допустимых значений.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + \frac{\pi}{2}) = \tg(2(x + \frac{\pi}{2})) = \tg(2x + 2 \cdot \frac{\pi}{2}) = \tg(2x + \pi)$.

Основной период функции тангенс равен $\pi$, что означает $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$ для любого $\alpha$. Применив это свойство к нашему выражению, где $\alpha = 2x$, получаем:$\tg(2x + \pi) = \tg(2x)$.

Таким образом, мы показали, что $y(x + \frac{\pi}{2}) = y(x)$.
Ответ: Число $T = \frac{\pi}{2}$ является периодом функции $y = \tg(2x)$, так как $y(x + \frac{\pi}{2}) = \tg(2(x + \frac{\pi}{2})) = \tg(2x+\pi) = \tg(2x) = y(x)$.

б) Для функции $y = \tg(\frac{x}{3})$ и периода $T = 3\pi$ проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + 3\pi) = \tg(\frac{x + 3\pi}{3}) = \tg(\frac{x}{3} + \frac{3\pi}{3}) = \tg(\frac{x}{3} + \pi)$.

Используя свойство периодичности тангенса $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$, где $\alpha = \frac{x}{3}$, получаем:$\tg(\frac{x}{3} + \pi) = \tg(\frac{x}{3})$.

Следовательно, $y(x + 3\pi) = y(x)$.
Ответ: Число $T = 3\pi$ является периодом функции $y = \tg(\frac{x}{3})$, так как $y(x+3\pi) = \tg(\frac{x+3\pi}{3}) = \tg(\frac{x}{3}+\pi) = \tg(\frac{x}{3}) = y(x)$.

в) Для функции $y = \tg(5x)$ и периода $T = \frac{\pi}{5}$ проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + \frac{\pi}{5}) = \tg(5(x + \frac{\pi}{5})) = \tg(5x + 5 \cdot \frac{\pi}{5}) = \tg(5x + \pi)$.

Так как период тангенса равен $\pi$, то $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 5x$:$\tg(5x + \pi) = \tg(5x)$.

Таким образом, $y(x + \frac{\pi}{5}) = y(x)$.
Ответ: Число $T = \frac{\pi}{5}$ является периодом функции $y = \tg(5x)$, так как $y(x + \frac{\pi}{5}) = \tg(5(x + \frac{\pi}{5})) = \tg(5x+\pi) = \tg(5x) = y(x)$.

г) Для функции $y = \tg(\frac{2x}{5})$ и периода $T = \frac{5\pi}{2}$ проверим выполнение равенства $y(x+T) = y(x)$.

Подставим $x+T$ в функцию:$y(x + T) = y(x + \frac{5\pi}{2}) = \tg(\frac{2}{5}(x + \frac{5\pi}{2})) = \tg(\frac{2x}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5\pi}{2}) = \tg(\frac{2x}{5} + \pi)$.

Используя свойство периодичности тангенса $\tg(\alpha + \pi) = \tg(\alpha)$, где $\alpha = \frac{2x}{5}$, получаем:$\tg(\frac{2x}{5} + \pi) = \tg(\frac{2x}{5})$.

Следовательно, $y(x + \frac{5\pi}{2}) = y(x)$.
Ответ: Число $T = \frac{5\pi}{2}$ является периодом функции $y = \tg(\frac{2x}{5})$, так как $y(x + \frac{5\pi}{2}) = \tg(\frac{2}{5}(x + \frac{5\pi}{2})) = \tg(\frac{2x}{5}+\pi) = \tg(\frac{2x}{5}) = y(x)$.