Номер 14.17, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.17, страница 43.

14.17 a) $y = \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{2} \right);$

б) $y = \operatorname{tg} x + 1;$

В) $y = \operatorname{tg} \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

Г) $y = \operatorname{tg} x - 2.$

а) $y = \tan(x + \frac{\pi}{2})$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x+c)$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). В данном случае $c = \frac{\pi}{2}$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ влево.

Также можно воспользоваться формулой приведения: $\tan(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\cot(\alpha)$. Таким образом, данную функцию можно записать как $y = -\cot(x)$.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений. Для тангенса это все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Горизонтальный сдвиг не изменяет период функции. Основной период тангенса равен $\pi$.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Асимптоты для $y = \tan(x)$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Так как график сдвинут на $\frac{\pi}{2}$ влево, новые асимптоты будут в точках:
$x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - \frac{\pi}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на $\frac{\pi}{2}$ влево вдоль оси Ox. Область определения: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \tan x + 1$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x) + d$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy). В данном случае $d=1$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на 1 единицу вверх.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Вертикальный сдвиг не влияет на область определения.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Область значений тангенса - все действительные числа. Вертикальный сдвиг множества $(-\infty; +\infty)$ не изменяет его.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Вертикальный сдвиг не изменяет период функции.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальных асимптот.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x-c)$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox). В данном случае $c = \frac{\pi}{4}$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Тангенс не определен, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Горизонтальный сдвиг не влияет на область значений.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Горизонтальный сдвиг не изменяет период функции.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Асимптоты для $y = \tan(x)$ находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Так как график сдвинут на $\frac{\pi}{4}$ вправо, новые асимптоты будут в точках:
$x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox. Область определения: $x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \tan x - 2$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \tan(x)$. Преобразование вида $y = f(x) + d$ соответствует сдвигу графика функции $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy). В данном случае $d=-2$, что означает сдвиг графика $y = \tan(x)$ на 2 единицы вниз.

Проанализируем основные свойства функции:

1. Область определения (D(y)): Вертикальный сдвиг не влияет на область определения.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений (E(y)): Область значений тангенса - все действительные числа. Вертикальный сдвиг множества $(-\infty; +\infty)$ не изменяет его.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Период (T): Вертикальный сдвиг не изменяет период функции.
$T = \pi$.

4. Вертикальные асимптоты: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальных асимптот.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции получается сдвигом графика $y=\tan(x)$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Область значений: $(-\infty; +\infty)$. Период: $\pi$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.