Номер 14.10, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.10, страница 42.

14.10 Известно, что $tg (9\pi - x) = -\frac{3}{4}$. Найдите $tg x, ctg x$.

Нам дано уравнение: $ \tg(9\pi - x) = -\frac{3}{4} $.

Для того чтобы найти $ \tg x $, мы воспользуемся свойствами периодичности тангенса и формулами приведения.

Функция тангенса является периодической с периодом $ \pi $. Это означает, что $ \tg(\alpha + k\pi) = \tg(\alpha) $ для любого целого числа $ k $.В нашем случае мы можем представить $ 9\pi $ как $ 8\pi + \pi $.

$ \tg(9\pi - x) = \tg(8\pi + \pi - x) $

Поскольку $ 8\pi $ является целым кратным периода $ \pi $, мы можем его отбросить, не изменяя значения функции:

$ \tg(8\pi + \pi - x) = \tg(\pi - x) $

Теперь применим формулу приведения для $ \tg(\pi - x) $. Согласно этой формуле, $ \tg(\pi - x) = -\tg x $.

Таким образом, мы можем преобразовать исходное уравнение:

$ \tg(9\pi - x) = \tg(\pi - x) = -\tg x $

Подставляем это в исходное равенство:

$ -\tg x = -\frac{3}{4} $

Умножив обе части уравнения на $-1$, получаем значение для $ \tg x $:

$ \tg x = \frac{3}{4} $

Теперь найдем $ \ctg x $. Котангенс и тангенс связаны соотношением $ \ctg x = \frac{1}{\tg x} $.

Подставим найденное значение $ \tg x $:

$ \ctg x = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} $

Ответ: $ \tg x = \frac{3}{4} $, $ \ctg x = \frac{4}{3} $.