Номер 14.12, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.12, страница 42.

14.12 Определите знак разности:

а) $tg 200^\circ - tg 201^\circ$;

б) $tg 1 - tg 1,01$;

в) $tg 2,2 - tg 2,1$;

г) $tg \frac{3\pi}{5} - tg \frac{6\pi}{5}$.

Для определения знака разности используется свойство монотонности функции $y = \tan(x)$. Эта функция является строго возрастающей на каждом из своих интервалов определения, которые имеют вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n$ — любое целое число. Это значит, что если $x_1 < x_2$ и оба аргумента принадлежат одному и тому же интервалу возрастания, то $\tan(x_1) < \tan(x_2)$.

а) $\tan(200^\circ) - \tan(201^\circ)$
Углы $200^\circ$ и $201^\circ$ находятся в третьей четверти. Они принадлежат интервалу $(180^\circ, 270^\circ)$, который является частью интервала возрастания тангенса $(90^\circ, 270^\circ)$. Поскольку $200^\circ < 201^\circ$, то, в силу возрастания функции на этом интервале, $\tan(200^\circ) < \tan(201^\circ)$. Следовательно, разность $\tan(200^\circ) - \tan(201^\circ)$ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

б) $\tan(1) - \tan(1,01)$
Аргументы 1 и 1,01 (в радианах) находятся в первой четверти, так как $0 < 1 < 1,01 < \frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Оба значения принадлежат интервалу возрастания тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $1 < 1,01$, то $\tan(1) < \tan(1,01)$. Таким образом, разность $\tan(1) - \tan(1,01)$ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

в) $\tan(2,2) - \tan(2,1)$
Аргументы 2,1 и 2,2 (в радианах) находятся во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 2,1 < 2,2 < \pi \approx 3,14$. Оба значения принадлежат интервалу возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Поскольку $2,1 < 2,2$, то $\tan(2,1) < \tan(2,2)$. Следовательно, разность $\tan(2,2) - \tan(2,1)$ положительна.
Ответ: знак плюс (+).

г) $\tan(\frac{3\pi}{5}) - \tan(\frac{6\pi}{5})$
Рассмотрим знаки каждого из тангенсов. Угол $\frac{3\pi}{5}$ находится во второй четверти $(\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi)$, где тангенс отрицателен, то есть $\tan(\frac{3\pi}{5}) < 0$. Угол $\frac{6\pi}{5}$ находится в третьей четверти $(\pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2})$, где тангенс положителен, то есть $\tan(\frac{6\pi}{5}) > 0$. Разность отрицательного и положительного числа всегда отрицательна.
В качестве альтернативы, можно заметить, что оба угла, $\frac{3\pi}{5}$ и $\frac{6\pi}{5}$, принадлежат одному интервалу возрастания тангенса $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Так как $\frac{3\pi}{5} < \frac{6\pi}{5}$, то $\tan(\frac{3\pi}{5}) < \tan(\frac{6\pi}{5})$, что также доказывает, что разность отрицательна.
Ответ: знак минус (–).