Номер 14.21, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.21, страница 43.

14.21 а) $y = 2 \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x;$

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x + \sqrt{x}.$

а) $y = 2 \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x$

Для нахождения производной сначала проанализируем функцию. Найдем ее область определения (ОДЗ). Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда $\cos x \neq 0$, то есть при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда $\sin x \neq 0$, то есть при $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, исходная функция определена, когда оба условия выполняются одновременно, то есть при $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

На всей своей области определения мы можем упростить выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = 1$. Тогда функция принимает вид: $y = 2 \cdot 1 = 2$.

Итак, мы имеем дело с функцией $y = 2$, которая является константой на своей области определения. Графически это прямая линия, параллельная оси абсцисс, с выколотыми точками при $x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Производная константы равна нулю. $y' = (2)' = 0$. Производная существует и равна нулю для всех $x$ из области определения исходной функции.

Ответ: $y' = 0$ при $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x + \sqrt{x}$

Найдем область определения данной функции (ОДЗ). Она определяется пересечением областей определения каждого из слагаемых. 1. Для слагаемого $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x$ область определения, как мы выяснили в пункте а), это $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. Для слагаемого $\sqrt{x}$ область определения — это $x \ge 0$.

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для всей функции: $x$ должно быть неотрицательным и не должно совпадать со значениями $\frac{\pi k}{2}$. Поскольку при $x=0$ котангенс не определен ($k=0$), то $x$ должно быть строго больше нуля. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty) \setminus \{ \frac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb{N} \}$.

На этой области определения мы можем упростить функцию, так как $\operatorname{tg}x \cdot \operatorname{ctg}x = 1$. Функция принимает вид: $y = 1 + \sqrt{x}$.

Теперь найдем производную этой упрощенной функции, используя правило дифференцирования суммы и формулу для производной степенной функции: $y' = (1 + \sqrt{x})' = (1)' + (\sqrt{x})'$. Производная константы $(1)' = 0$. Производная квадратного корня $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Следовательно, производная функции: $y' = 0 + \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Эта производная определена для всех $x > 0$, что включает в себя область определения исходной функции.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ при $x \in (0; +\infty) \setminus \{ \frac{\pi k}{2} \mid k \in \mathbb{N} \}$.