Номер 15.5, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.5, страница 45.

Решите уравнение:

15.5 a) $\cos t = \frac{1}{2};$

б) $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2};$

в) $\cos t = 1;$

г) $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

а) Для решения уравнения $cos t = \frac{1}{2}$ используется общая формула для нахождения корней тригонометрического уравнения с косинусом: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $a$ - значение косинуса, а $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \frac{1}{2}$.

Находим главное значение угла, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Это $arccos(\frac{1}{2})$. Из таблицы тригонометрических значений или с помощью единичной окружности мы знаем, что $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем уравнение $cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем ту же общую формулу: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это значение равно $\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в общую формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $cos t = 1$.

Это частный случай. Косинус равен единице только в точках, соответствующих началу отсчета на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый полный оборот, то есть через $2\pi$.

Можно также воспользоваться общей формулой: $t = \pm arccos(1) + 2\pi k$.

Так как $arccos(1) = 0$, получаем:

$t = \pm 0 + 2\pi k$, что упрощается до $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Снова применяем общую формулу: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это значение равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в общую формулу:

$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.