Номер 15.8, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.8, страница 45.

15.8 Вычислите:

a) $ \cos\left(2\arccos\frac{1}{2} - 3\arccos 0 - \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

б) $ \frac{1}{3}\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right). $

а) Вычислим значение выражения $ \cos(2 \arccos \frac{1}{2} - 3 \arccos 0 - \arccos(-\frac{1}{2})) $.

Для этого сначала найдем значения арккосинусов, входящих в выражение. Арккосинус $ \arccos(x) $ – это угол из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ x $.

1. $ \arccos \frac{1}{2} $. Нам нужно найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, для которого $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $. Этим углом является $ \frac{\pi}{3} $. Итак, $ \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $.

2. $ \arccos 0 $. Нам нужно найти угол $ \beta \in [0; \pi] $, для которого $ \cos \beta = 0 $. Этим углом является $ \frac{\pi}{2} $. Итак, $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $.

3. $ \arccos(-\frac{1}{2}) $. Используем свойство арккосинуса: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.
$ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}) $.

Упростим выражение в скобках:
$ 2 \cdot \frac{\pi}{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} $.

Осталось вычислить $ \cos(-\frac{3\pi}{2}) $. Так как косинус является четной функцией ($ \cos(-x) = \cos(x) $), то:
$ \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $.

Ответ: 0

б) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3} + \arccos(-\frac{1}{3})) $.

Воспользуемся свойством арккосинуса: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $, которое справедливо для всех $ x \in [-1; 1] $.

Применим это свойство к члену $ \arccos(-\frac{1}{3}) $:
$ \arccos(-\frac{1}{3}) = \pi - \arccos(\frac{1}{3}) $.

Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{3}(\arccos \frac{1}{3} + (\pi - \arccos(\frac{1}{3}))) $.

Упростим выражение в скобках. Члены $ \arccos \frac{1}{3} $ и $ -\arccos \frac{1}{3} $ взаимно уничтожаются:
$ \arccos \frac{1}{3} + \pi - \arccos \frac{1}{3} = \pi $.

Тогда все выражение равно:
$ \frac{1}{3} \cdot \pi = \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $