Номер 15.13, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.13, страница 45.

15.13 a) $6 \cos^2 t + 5 \cos t + 1 = 0;$

б) $3 + 9 \cos t = 5 \sin^2 t.$

а) $6\cos^2 t + 5\cos t + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos t$.

Введем замену переменной. Пусть $x = \cos t$. Тогда уравнение примет вид:

$6x^2 + 5x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $t$. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\cos t = -\frac{1}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos t = -\frac{1}{2}$

Это стандартное тригонометрическое уравнение, его решения:

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $\pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 + 9\cos t = 5\sin^2 t$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, из которого следует, что $\sin^2 t = 1 - \cos^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 + 9\cos t = 5(1 - \cos^2 t)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$3 + 9\cos t = 5 - 5\cos^2 t$

$5\cos^2 t + 9\cos t + 3 - 5 = 0$

$5\cos^2 t + 9\cos t - 2 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $\cos t$. Введем замену переменной. Пусть $y = \cos t$.

$5y^2 + 9y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Вернемся к замене.

1) $\cos t = \frac{1}{5}$

Решения этого уравнения:

$t = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos t = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $-2$ не входит в этот промежуток (то есть $|\cos t| \le 1$).

Следовательно, единственным решением исходного уравнения является первая серия корней.

Ответ: $\pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.