Номер 15.18, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.18, страница 46.

15.18 a) $cos t < \frac{2}{3};$

б) $cos t > -\frac{1}{7};$

В) $cos t > \frac{2}{3};$

Г) $cos t < -\frac{1}{7}.$

a) Для решения тригонометрического неравенства $\cos t < \frac{2}{3}$, сначала найдём корни уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$. Корни этого уравнения: $t = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности неравенству $\cos t < \frac{2}{3}$ соответствуют точки, абсцисса которых меньше $\frac{2}{3}$. Это дуга, расположенная между углами $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$ и $2\pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right)$ при движении против часовой стрелки. Таким образом, общее решение неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, записывается в виде: $\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(\arccos\frac{2}{3} + 2\pi n; 2\pi - \arccos\frac{2}{3} + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\cos t > -\frac{1}{7}$. Найдём корни уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$: $t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности нам нужны точки, абсцисса которых больше $-\frac{1}{7}$. Это дуга, заключённая между углами $-\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ и $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$. Решением неравенства является интервал, который с учётом периодичности записывается так: $-\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n < t < \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(-\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n; \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\cos t > \frac{2}{3}$. Корни уравнения $\cos t = \frac{2}{3}$ равны $t = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности ищем точки с абсциссой больше $\frac{2}{3}$. Это дуга между углами $-\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$ и $\arccos\left(\frac{2}{3}\right)$. Общее решение неравенства: $-\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n < t < \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(-\arccos\frac{2}{3} + 2\pi n; \arccos\frac{2}{3} + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\cos t < -\frac{1}{7}$. Корни уравнения $\cos t = -\frac{1}{7}$ равны $t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности ищем точки с абсциссой меньше $-\frac{1}{7}$. Это дуга между углами $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$ и $2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right)$. Общее решение неравенства: $\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t \in \left(\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n; 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}$.