Номер 16.3, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.3, страница 47.

16.3 a) $ \arcsin 0 + \arccos 0; $

б) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}; $

В) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{1}{2}; $

Г) $ \arcsin (-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Найдем значение выражения $ \arcsin 0 + \arccos 0 $.

Для решения этого примера можно воспользоваться тождеством $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $, которое справедливо для всех $ x \in [-1, 1] $.

Так как $ x=0 $ принадлежит этому отрезку, то:

$ \arcsin 0 + \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $.

Также можно вычислить каждое слагаемое по отдельности:

$ \arcsin 0 $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен 0. Этот угол равен 0.

$ \arccos 0 $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен 0. Этот угол равен $ \frac{\pi}{2} $.

Следовательно, $ \arcsin 0 + \arccos 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

б) Найдем значение выражения $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Воспользуемся тождеством $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.

В данном случае $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Так как $ -1 \le \frac{\sqrt{3}}{2} \le 1 $, тождество применимо.

$ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Можно также вычислить каждое значение отдельно:

$ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.

$ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] $.

Тогда $ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

в) Найдем значение выражения $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arccos \frac{1}{2} $.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Используя свойство нечетности арксинуса $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, получаем:

$ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

$ \arccos \frac{1}{2} $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{3} $.

Теперь сложим полученные значения:

$ -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{12} $

г) Найдем значение выражения $ \arcsin(-1) + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

$ \arcsin(-1) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен -1. Этот угол равен $ -\frac{\pi}{2} $.

$ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.

Сложим полученные значения:

$ -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{-3\pi + \pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $