Номер 16.7, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.7, страница 48.

16.7 Имеет ли смысл выражение:

а) $ \arcsin \left(-\frac{2}{3}\right); $

б) $ \arcsin 1,5; $

в) $ \arcsin (3-\sqrt{20}); $

г) $ \arcsin (4-\sqrt{20})? $

Выражение $\arcsin(a)$ имеет смысл (определено), если его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть, когда выполняется двойное неравенство: $-1 \le a \le 1$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

а) $\arcsin(-\frac{2}{3})$

Аргументом функции является число $a = -\frac{2}{3}$. Проверим, принадлежит ли оно отрезку $[-1; 1]$.

$-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$.

Это неравенство верно, так как $-\frac{2}{3}$ это примерно $-0.67$, и это значение находится между $-1$ и $1$.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

б) $\arcsin(1,5)$

Аргументом функции является число $a = 1,5$. Проверим, принадлежит ли оно отрезку $[-1; 1]$.

$-1 \le 1,5 \le 1$.

Правая часть этого двойного неравенства, $1,5 \le 1$, неверна, так как $1,5 > 1$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin(3 - \sqrt{20})$

Аргументом функции является число $a = 3 - \sqrt{20}$. Оценим его значение.

Известно, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Значит, $4 < \sqrt{20} < 5$.

Вычтем $\sqrt{20}$ из $3$. Для этого сначала умножим неравенство $4 < \sqrt{20} < 5$ на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные: $-5 < -\sqrt{20} < -4$.

Теперь прибавим $3$ ко всем частям неравенства:

$3 - 5 < 3 - \sqrt{20} < 3 - 4$

$-2 < 3 - \sqrt{20} < -1$

Значение аргумента $3 - \sqrt{20}$ меньше $-1$, значит, оно не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) $\arcsin(4 - \sqrt{20})$

Аргументом функции является число $a = 4 - \sqrt{20}$. Оценим его значение, используя ту же оценку $4 < \sqrt{20} < 5$.

Умножим неравенство на $-1$: $-5 < -\sqrt{20} < -4$.

Прибавим $4$ ко всем частям неравенства:

$4 - 5 < 4 - \sqrt{20} < 4 - 4$

$-1 < 4 - \sqrt{20} < 0$

Значение аргумента $4 - \sqrt{20}$ находится в интервале $(-1; 0)$, который полностью входит в отрезок $[-1; 1]$.

Проверим это более строго:

1) $4 - \sqrt{20} \le 1 \implies 3 \le \sqrt{20} \implies 9 \le 20$. Верно.

2) $4 - \sqrt{20} \ge -1 \implies 5 \ge \sqrt{20} \implies 25 \ge 20$. Верно.

Поскольку $-1 \le 4 - \sqrt{20} \le 1$, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.