Номер 16.12, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.12, страница 49.

16.12 а) $ \sin x = \frac{1}{2}, x \in \left( \frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4} \right); $

б) $ \sin x = -\frac{1}{2}, x \in \left( -\frac{5\pi}{6}; 6 \right); $

в) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in (-4; 3); $

г) $ \sin x = \frac{1}{2}, x \in (-3; 6). $

а)

Решим уравнение $sin x = \frac{1}{2}$ на интервале $x \in (\frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4})$.

Общее решение уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Это можно разбить на две серии решений:

1) $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному интервалу $(\frac{1}{2}; \frac{11\pi}{4})$. Оценим границы интервала в десятичной форме: $\frac{1}{2} = 0.5$ и $\frac{11\pi}{4} \approx \frac{11 \cdot 3.14159}{4} \approx 8.64$.

Рассмотрим первую серию $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$. $0.5 < 0.5236 < 8.64$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.807$. $0.5 < 6.807 < 8.64$, корень подходит.
• При $k=2$, $x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} > 8.64$, корень не подходит.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618$. $0.5 < 2.618 < 8.64$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.901$. Так как $\frac{17\pi}{6} > \frac{11\pi}{4}$ (поскольку $17/6 > 11/4 \Leftrightarrow 68 > 66$), корень не подходит.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$.

б)

Решим уравнение $sin x = -\frac{1}{2}$ на интервале $x \in (-\frac{5\pi}{6}; 6)$.

Общее решение уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$ дается формулой $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Две серии решений:

1) $x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни из интервала $(-\frac{5\pi}{6}; 6)$. Оценим левую границу: $-\frac{5\pi}{6} \approx -2.618$.

Рассмотрим первую серию $x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.5236$. $-2.618 < -0.5236 < 6$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5.76$. $5.76 < 6$, корень подходит.
• При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.807 < -2.618$, корень не подходит.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.665$. $-2.618 < 3.665 < 6$, корень подходит.
• При $k=-1$, $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$. Этот корень совпадает с левой границей интервала, но интервал строгий, поэтому корень не входит в него.
• При $k=1$, $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.95 > 6$, корень не подходит.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

в)

Решим уравнение $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $x \in (-4; 3)$.

Общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Две серии решений:

1) $x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни из интервала $(-4; 3)$. Используем $\pi \approx 3.14159$.

Рассмотрим первую серию $x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. $-4 < 0.785 < 3$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 3$, корень не подходит.
• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \approx -5.498 < -4$, корень не подходит.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.356$. $-4 < 2.356 < 3$, корень подходит.
• При $k=-1$, $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927$. $-4 < -3.927 < 3$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi > 3$, корень не подходит.
• При $k=-2$, $x = \frac{3\pi}{4} - 4\pi < -4$, корень не подходит.

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$.

г)

Решим уравнение $sin x = \frac{1}{2}$ на интервале $x \in (-3; 6)$.

Общее решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Две серии решений:

1) $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни из интервала $(-3; 6)$.

Рассмотрим первую серию $x_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236$. $-3 < 0.5236 < 6$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.807 > 6$, корень не подходит.
• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \approx -5.76 < -3$, корень не подходит.

Рассмотрим вторую серию $x_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

• При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.618$. $-3 < 2.618 < 6$, корень подходит.
• При $k=1$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi > 6$, корень не подходит.
• При $k=-1$, $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \approx -3.665 < -3$, корень не подходит.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.