Номер 16.19, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.19, страница 49.

16.19 a) $5 \sin^2 t > 11 \sin t + 12;$

б) $5 \sin^2 t \leq 11 \sin t + 12.$

а) $5\sin^2 t > 11\sin t + 12$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$5\sin^2 t - 11\sin t - 12 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = \sin t$. Так как область значений функции синус $[-1; 1]$, то $-1 \le x \le 1$.

Получаем квадратное неравенство относительно $x$:

$5x^2 - 11x - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 11x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{11 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

$x_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$

Неравенство $5x^2 - 11x - 12 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, так как ветви параболы направлены вверх ($a=5>0$). То есть, $x < -0.8$ или $x > 3$.

Теперь учтем ограничение $-1 \le x \le 1$. Для этого решим систему:

$\begin{cases} x < -0.8 \text{ или } x > 3 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает нам промежуток $-1 \le x < -0.8$.

Возвращаемся к исходной переменной $t$:

$-1 \le \sin t < -0.8$

Решим это двойное неравенство с помощью единичной окружности. Нас интересуют точки на окружности, ордината ($y$-координата) которых находится в промежутке $[-1; -0.8)$.

Найдем углы, для которых $\sin t = -0.8$. Это $t = \arcsin(-0.8) + 2\pi n$ и $t = \pi - \arcsin(-0.8) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$, получаем:

$t = -\arcsin(0.8) + 2\pi n$ (угол в IV четверти)

$t = \pi + \arcsin(0.8) + 2\pi n$ (угол в III четверти)

Неравенство $\sin t < -0.8$ выполняется для углов, лежащих на дуге между точками $\pi + \arcsin(0.8)$ и $2\pi - \arcsin(0.8)$.

Условие $\sin t \ge -1$ выполняется для всех действительных $t$, поэтому решение двойного неравенства совпадает с решением неравенства $\sin t < -0.8$.

Таким образом, искомое множество значений $t$ представляет собой интервал, который повторяется с периодом $2\pi$.

Ответ: $t \in (\pi + \arcsin(0.8) + 2\pi n, 2\pi - \arcsin(0.8) + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) $5\sin^2 t \le 11\sin t + 12$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$5\sin^2 t - 11\sin t - 12 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = \sin t$, при этом $-1 \le x \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$5x^2 - 11x - 12 \le 0$

Из пункта а) мы знаем, что корни уравнения $5x^2 - 11x - 12 = 0$ равны $x_1 = -0.8$ и $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $5x^2 - 11x - 12 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая их). То есть, $-0.8 \le x \le 3$.

Учитываем ограничение $-1 \le x \le 1$, решая систему:

$\begin{cases} -0.8 \le x \le 3 \\ -1 \le x \le 1 \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает нам промежуток $-0.8 \le x \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной $t$:

$-0.8 \le \sin t \le 1$

Неравенство $\sin t \le 1$ выполняется для всех действительных значений $t$.

Следовательно, нам нужно решить только неравенство $\sin t \ge -0.8$.

На единичной окружности это соответствует точкам, ордината которых больше или равна $-0.8$.

Граничные точки соответствуют углам $t$, для которых $\sin t = -0.8$. Как мы нашли в пункте а), это $t_1 = -\arcsin(0.8)$ и $t_2 = \pi + \arcsin(0.8)$.

Решением неравенства $\sin t \ge -0.8$ является дуга, начинающаяся в точке $-\arcsin(0.8)$, проходящая через $\pi/2$ и заканчивающаяся в точке $\pi + \arcsin(0.8)$.

Таким образом, решение представляет собой отрезок, повторяющийся с периодом $2\pi$.

Ответ: $t \in [-\arcsin(0.8) + 2\pi n, \pi + \arcsin(0.8) + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.