Номер 16.20, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.20, страница 49.

16.20 a) $6 \cos^2 t + \sin t > 4$;

б) $6 \cos^2 t + \sin t \le 4$.

а) $6\cos^2t + \sin t > 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2t = 1 - \sin^2t$, чтобы привести неравенство к одной функции:

$6(1 - \sin^2t) + \sin t > 4$

Раскроем скобки и упростим:

$6 - 6\sin^2t + \sin t > 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$-6\sin^2t + \sin t + 2 > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при старшем члене стал положительным:

$6\sin^2t - \sin t - 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $x = \sin t$. Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, то $x \in [-1, 1]$. Неравенство принимает вид:

$6x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6x^2 - x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $6x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

Оба значения, $-\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$, находятся в пределах отрезка $[-1, 1]$, поэтому это допустимый интервал для $x = \sin t$.

Возвращаемся к исходной переменной $t$:

$-\frac{1}{2} < \sin t < \frac{2}{3}$

Решим это двойное неравенство. Нам нужно найти углы $t$, для которых значение синуса находится в интервале $(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$. На единичной окружности это соответствует дугам, где ордината точки находится между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Это два интервала за один оборот:

1. От угла $-\frac{\pi}{6}$ (синус которого равен $-\frac{1}{2}$) до угла $\arcsin(\frac{2}{3})$ (синус которого равен $\frac{2}{3}$). С учетом периодичности: $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k)$.

2. От угла $\pi - \arcsin(\frac{2}{3})$ до угла $\frac{7\pi}{6}$. С учетом периодичности: $(\pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$.

Объединяя эти два семейства интервалов, получаем окончательное решение.

Ответ: $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k) \cup (\pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $6\cos^2t + \sin t \le 4$

Преобразования этого неравенства аналогичны тем, что были в пункте а).

Используем тождество $\cos^2t = 1 - \sin^2t$:

$6(1 - \sin^2t) + \sin t \le 4$

$6 - 6\sin^2t + \sin t - 4 \le 0$

$-6\sin^2t + \sin t + 2 \le 0$

Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$6\sin^2t - \sin t - 2 \ge 0$

Сделаем замену $x = \sin t$, где $x \in [-1, 1]$:

$6x^2 - x - 2 \ge 0$

Корни уравнения $6x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 6x^2 - x - 2$ направлены вверх, неравенство $6x^2 - x - 2 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни:

$x \le -\frac{1}{2}$ или $x \ge \frac{2}{3}$

Производим обратную замену:

$\sin t \le -\frac{1}{2}$ или $\sin t \ge \frac{2}{3}$

Решим каждое из этих неравенств отдельно, учитывая, что $-1 \le \sin t \le 1$.

1. Решим неравенство $\sin t \ge \frac{2}{3}$. На единичной окружности это соответствует дуге, заключенной между углами $\arcsin(\frac{2}{3})$ и $\pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. С учетом периодичности, решение: $[\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k]$.

2. Решим неравенство $\sin t \le -\frac{1}{2}$. На единичной окружности это соответствует дуге, заключенной между углами $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$. С учетом периодичности, решение: $[\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.

Ответ: $[\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k] \cup [\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.