Номер 16.21, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.21, страница 50.

16.21 Вычислите:

a) $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right);$

б) $\text{tg}(\arcsin 0,6);$

в) $\cos\left(\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right);$

г) $\text{ctg}(\arcsin(-0,8)).$

а) $cos(arcsin(-\frac{5}{13}))$
Пусть $α = arcsin(-\frac{5}{13})$. По определению арксинуса, это означает, что $sin(α) = -\frac{5}{13}$ и угол $α$ находится в промежутке $[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$.
Нам нужно найти $cos(α)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$.
Отсюда $cos^2(α) = 1 - sin^2(α)$.
Подставим значение $sin(α)$:
$cos^2(α) = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Следовательно, $cos(α) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Поскольку угол $α$ лежит в диапазоне $[-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$, его косинус неотрицателен ($cos(α) ≥ 0$). Поэтому мы выбираем положительное значение.
$cos(α) = \frac{12}{13}$.
Таким образом, $cos(arcsin(-\frac{5}{13})) = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\frac{12}{13}$.

б) $tg(arcsin(0,6))$
Пусть $α = arcsin(0,6)$. Представим $0,6$ в виде дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Тогда $α = arcsin(\frac{3}{5})$. По определению, это означает, что $sin(α) = \frac{3}{5}$ и $α \in [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$. Так как $sin(α) > 0$, то $α \in (0, \frac{π}{2}]$.
Нам нужно найти $tg(α)$. По определению тангенса: $tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$.
Найдем $cos(α)$ из основного тригонометрического тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:
$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$cos(α) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как $α$ находится в первой четверти, $cos(α)$ положителен. Значит, $cos(α) = \frac{4}{5}$.
Теперь вычислим тангенс:
$tg(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: $0,75$.

в) $cos(arcsin(\frac{8}{17}))$
Пусть $α = arcsin(\frac{8}{17})$. Это значит, что $sin(α) = \frac{8}{17}$ и $α \in [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$. Так как $\frac{8}{17} > 0$, то $α \in (0, \frac{π}{2}]$.
Нам нужно найти $cos(α)$. Используем тождество $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:
$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.
$cos(α) = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17}$.
Поскольку $α$ лежит в первой четверти, $cos(α)$ положителен.
Следовательно, $cos(α) = \frac{15}{17}$.
Ответ: $\frac{15}{17}$.

г) $ctg(arcsin(-0,8))$
Пусть $α = arcsin(-0,8)$. Представим $-0,8$ в виде дроби: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.
Тогда $α = arcsin(-\frac{4}{5})$. По определению, $sin(α) = -\frac{4}{5}$ и $α \in [-\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$. Так как $sin(α) < 0$, то $α \in [-\frac{π}{2}, 0)$.
Нам нужно найти $ctg(α)$. По определению котангенса: $ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)}$.
Сначала найдем $cos(α)$ из тождества $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:
$cos^2(α) = 1 - sin^2(α) = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$cos(α) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.
Так как $α$ находится в четвертой четверти ($α \in [-\frac{π}{2}, 0)$), его косинус положителен. Значит, $cos(α) = \frac{3}{5}$.
Теперь вычислим котангенс:
$ctg(α) = \frac{cos(α)}{sin(α)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} = -0,75$.
Ответ: $-0,75$.