Номер 17.6, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.6, страница 51.

17.6 a) $ \sin (\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}))$;

Б) $ \operatorname{tg} (\operatorname{arctg} (-\frac{\sqrt{3}}{3}))$;

В) $ \cos (\operatorname{arctg} 0)$;

Г) $ \operatorname{ctg} (\operatorname{arctg} (-1)).$

а) Вычислим значение выражения $ \sin(\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})) $.
Сначала найдем значение внутреннего выражения $ \mathrm{arctg}(-\sqrt{3}) $. По определению, арктангенс числа $a$ — это угол $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \mathrm{tg}(\alpha) = -\sqrt{3} $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Известно, что $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} $. Поскольку тангенс является нечетной функцией, то есть $ \mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}(x) $, получаем: $ \mathrm{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\mathrm{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} $.
Угол $ -\frac{\pi}{3} $ принадлежит интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, следовательно, $ \mathrm{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $ \sin(\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})) = \sin(-\frac{\pi}{3}) $.
Синус также является нечетной функцией, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $: $ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $

б) Вычислим значение выражения $ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) $.
По определению арктангенса, для любого действительного числа $x$ выполняется равенство $ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(x)) = x $. Это следует из того, что функции тангенса и арктангенса являются взаимно обратными.
В нашем случае $ x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Следовательно, $ \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

в) Вычислим значение выражения $ \cos(\mathrm{arctg}(0)) $.
Сначала найдем значение $ \mathrm{arctg}(0) $. Нам нужен угол $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \mathrm{tg}(\alpha) = 0 $.
Единственный угол в этом интервале, удовлетворяющий данному условию, — это $ \alpha = 0 $. Таким образом, $ \mathrm{arctg}(0) = 0 $.
Теперь вычислим косинус этого угла: $ \cos(0) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

г) Вычислим значение выражения $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(-1)) $.
Сначала найдем значение $ \mathrm{arctg}(-1) $. Нам нужен угол $ \alpha $ из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, для которого $ \mathrm{tg}(\alpha) = -1 $.
Известно, что $ \mathrm{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $. Так как тангенс — нечетная функция, $ \mathrm{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1 $.
Угол $ -\frac{\pi}{4} $ принадлежит интервалу $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, поэтому $ \mathrm{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(-1)) = \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{4}) $.
Котангенс является нечетной функцией, то есть $ \mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x) $: $ \mathrm{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\mathrm{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1 $.
Также можно воспользоваться тождеством $ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(x)) = \frac{1}{x} $ при $ x \neq 0 $.
$ \mathrm{ctg}(\mathrm{arctg}(-1)) = \frac{1}{-1} = -1 $.
Ответ: $ -1 $