Номер 17.12, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.12, страница 51.

17.12 а) $tg (\pi + x) = \sqrt{3};$

б) $2 ctg (2\pi + x) - tg (\frac{\pi}{2} + x) = \sqrt{3};$

в) $-\sqrt{3} tg (\pi - x) = 1;$

г) $ctg (2\pi - x) + tg (\frac{3\pi}{2} + x) = 2.$

а)

Дано уравнение $tg (\pi + x) = \sqrt{3}$.

Используем формулу приведения для тангенса. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

Уравнение упрощается до вида:

$tg(x) = \sqrt{3}$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения находится по формуле $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$.

$x = arctg(\sqrt{3}) + \pi n$

Поскольку $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $2 ctg(2\pi + x) - tg(\frac{\pi}{2} + x) = \sqrt{3}$.

Для упрощения уравнения применим формулы приведения:

1. Функция котангенса имеет период $\pi$, а значит и $2\pi$. Следовательно, $ctg(2\pi + x) = ctg(x)$.

2. Для $tg(\frac{\pi}{2} + x)$ угол находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (котангенс). Таким образом, $tg(\frac{\pi}{2} + x) = -ctg(x)$.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$2 ctg(x) - (-ctg(x)) = \sqrt{3}$

$2 ctg(x) + ctg(x) = \sqrt{3}$

$3 ctg(x) = \sqrt{3}$

Отсюда находим $ctg(x)$:

$ctg(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решение этого уравнения имеет вид $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$

Так как $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $-\sqrt{3} tg(\pi - x) = 1$.

Используем формулу приведения $tg(\pi - x) = -tg(x)$, поскольку угол $(\pi - x)$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен, а основная функция (тангенс) не меняется.

Подставим это в уравнение:

$-\sqrt{3} (-tg(x)) = 1$

$\sqrt{3} tg(x) = 1$

Выразим $tg(x)$:

$tg(x) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решение этого уравнения: $x = arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $ctg(2\pi - x) + tg(\frac{3\pi}{2} + x) = 2$.

Применим формулы приведения для каждого слагаемого:

1. Для $ctg(2\pi - x)$ угол находится в четвертой четверти, где котангенс отрицателен. Функция не меняется. Значит, $ctg(2\pi - x) = -ctg(x)$.

2. Для $tg(\frac{3\pi}{2} + x)$ угол находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен. Из-за слагаемого $\frac{3\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию. Значит, $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$.

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$-ctg(x) + (-ctg(x)) = 2$

$-2 ctg(x) = 2$

Выразим $ctg(x)$:

$ctg(x) = -1$

Решение этого уравнения: $x = arcctg(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.