Номер 17.8, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.8, страница 51.

Решите уравнение:

17.8 а) $ tgx = 1; $

б) $ tgx = -\frac{\sqrt{3}}{3}; $

в) $ tgx = -1; $

г) $ tgx = \frac{\sqrt{3}}{3}. $

а) $\text{tg } x = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $\text{tg } x = a$ находится по формуле $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В данном случае $a = 1$.

Находим арктангенс от 1. Это известное табличное значение: $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\text{tg } x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения арктангенса отрицательного числа воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$.

Таким образом, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Табличное значение для $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\text{tg } x = -1$

Применяем ту же общую формулу: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $a = -1$.

Используя свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.

Как мы знаем из пункта а), $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Значит, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Записываем общее решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\text{tg } x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Снова используем общую формулу для тангенса: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Находим табличное значение арктангенса: $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.