Номер 17.10, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.10, страница 51.

17.10 a) $ctg x = 1;$

б) $ctg x = -\sqrt{3};$

В) $ctg x = 0;$

Г) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Решим уравнение $ctg x = 1$.
Общее решение для уравнений вида $ctg x = a$ дается формулой $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 1$. Найдем значение $arcctg(1)$. Арккотангенс 1 — это угол в интервале $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $ctg x = -\sqrt{3}$.
Используем общую формулу решения: $x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения арккотангенса отрицательного числа воспользуемся тождеством $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
Сначала найдем $arcctg(\sqrt{3})$. Угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$, — это $\frac{\pi}{6}$.
Значит, $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Теперь вычисляем $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общую формулу:
$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $ctg x = 0$.
Общее решение: $x = arcctg(0) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Арккотангенс 0 — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен 0. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{2}$.
Таким образом, $arcctg(0) = \frac{\pi}{2}$.
Подставляем в общую формулу и получаем:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение: $x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
Сначала найдем $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$), — это $\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Теперь вычисляем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.