Номер 17.11, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.11, страница 51.

17.11 a) $ \mathrm{tg}^2 x - 6 \mathrm{tg} x + 5 = 0; $

б) $ \mathrm{tg}^2 x - 2 \mathrm{tg} x - 3 = 0. $

а)

Рассмотрим уравнение $\text{tg}^2 x - 6\text{tg}x + 5 = 0$. Это квадратное уравнение относительно $\text{tg}x$.

Введем замену переменной: пусть $t = \text{tg}x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену.

1. Если $\text{tg}x = 1$, то $x = \text{arctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, первая серия решений:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\text{tg}x = 5$, то вторая серия решений:

$x = \text{arctg}(5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ x = \text{arctg}(5) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим уравнение $\text{tg}^2 x - 2\text{tg}x - 3 = 0$. Это также квадратное уравнение относительно $\text{tg}x$.

Сделаем замену $t = \text{tg}x$:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Выполним обратную замену.

1. Если $\text{tg}x = 3$, то первая серия решений:

$x = \text{arctg}(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\text{tg}x = -1$, то $x = \text{arctg}(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, вторая серия решений:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ x = \text{arctg}(3) + \pi n$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.