Номер 18.1, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.1, страница 52.

Решите уравнение:

18.1 a) $sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

г) $cos 4x = 0$.

а) Дано уравнение $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение арксинуса является табличным: $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Подставим эти значения в общую формулу для нахождения $2x$:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 2:

$x = \frac{(-1)^n \pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$. Значение арккосинуса является табличным: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставим эти значения в общую формулу для нахождения $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части полученного выражения на 3:

$x = 3 \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm 2\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin t = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{4}$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса является табличным: $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в общую формулу для нахождения $\frac{x}{4}$:

$\frac{x}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части полученного выражения на 4:

$x = 4 \cdot \left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \frac{4\pi}{6} + 4\pi n = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\cos 4x = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения $\cos t = 0$. Его решение записывается формулой $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$.

Подставим это значение в формулу для частного случая:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, разделим обе части полученного выражения на 4:

$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.