Номер 18.4, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.4, страница 53.

18.4 a) $\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -1;$

б) $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = -1;$

в) $2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3};$

г) $2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sqrt{2}.$

а) Решим уравнение $ \cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -1 $.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Значение косинуса равно -1, когда его аргумент равен $ \pi + 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Следовательно, имеем уравнение:
$ \frac{\pi}{6} - 2x = \pi + 2\pi k $
Выразим из него $ x $:
$ -2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ -2x = \frac{6\pi - \pi}{6} + 2\pi k $
$ -2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $
Разделим обе части на -2:
$ x = -\frac{5\pi}{12} - \pi k $
Поскольку $ k $ — любое целое число, мы можем заменить $ -k $ на $ n $ ($ n \in \mathbb{Z} $) для удобства записи.
$ x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n $

Ответ: $ x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \text{tg}(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -1 $.
Значение тангенса равно -1, когда его аргумент равен $ -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k $
Выразим $ x $:
$ -\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ -\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \pi k $
$ -\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \pi k $
Умножим обе части на -2:
$ x = \pi - 2\pi k $
Заменив $ -k $ на $ n $ ($ n \in \mathbb{Z} $), получаем:
$ x = \pi + 2\pi n $

Ответ: $ x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

в) Решим уравнение $ 2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \sqrt{3} $.
Сначала разделим обе части на 2:
$ \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Для нашего случая $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.
$ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $
Рассмотрим два случая в зависимости от четности $ k $:
1. Если $ k $ — четное число, т.е. $ k = 2n $ ($ n \in \mathbb{Z} $), то $ (-1)^{2n} = 1 $.
$ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ -\frac{x}{4} = 2\pi n $
$ x = -8\pi n $. Можно также записать как $ x = 8\pi m, m \in \mathbb{Z} $.
2. Если $ k $ — нечетное число, т.е. $ k = 2n + 1 $ ($ n \in \mathbb{Z} $), то $ (-1)^{2n+1} = -1 $.
$ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi(2n+1) $
$ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n + \pi $
$ \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $
$ -\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ -\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi n $

Ответ: $ x = -8\pi n $; $ x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

г) Решим уравнение $ 2\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \sqrt{2} $.
Разделим обе части на 2:
$ \cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
Используя свойство четности косинуса $ \cos(-y) = \cos(y) $, перепишем уравнение: $ \cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Общее решение уравнения $ \cos(y) = a $ имеет вид $ y = \pm\arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Для нашего случая $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.
$ 3x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k $
Разобьем решение на два случая:
1. Со знаком «+»:
$ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ 3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $
2. Со знаком «-»:
$ 3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ 3x = 2\pi k $
$ x = \frac{2\pi k}{3} $

Ответ: $ x = \frac{2\pi k}{3} $; $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.