Номер 18.9, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.9, страница 53.

18.9 a) $3 \text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 1 = 0;$

б) $\text{ctg}^2 2x - 6 \text{ctg} 2x + 5 = 0;$

В) $2 \text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x - 2 = 0;$

Г) $7 \text{ctg}^2 \frac{x}{2} + 2 \text{ctg} \frac{x}{2} = 5.$

а)

Исходное уравнение: $3\operatorname{tg}^2x + 2\operatorname{tg}x - 1 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $\operatorname{tg}x$. Для его решения введем замену: пусть $y = \operatorname{tg}x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$3y^2 + 2y - 1 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.
1) $\operatorname{tg}x = -1$.
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\operatorname{tg}x = \frac{1}{3}$.
Решением этого уравнения является серия корней:
$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение: $\operatorname{ctg}^2{2x} - 6\operatorname{ctg}{2x} + 5 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{ctg}{2x}$. Введем замену: пусть $y = \operatorname{ctg}{2x}$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 6y + 5 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, его корни легко найти по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 6$ и $y_1 \cdot y_2 = 5$. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = 5$.
Выполним обратную замену.
1) $\operatorname{ctg}{2x} = 1$.
$2x = \operatorname{arcctg}(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\operatorname{ctg}{2x} = 5$.
$2x = \operatorname{arcctg}(5) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(5) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{1}{2}\operatorname{arcctg}(5) + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное уравнение: $2\operatorname{tg}^2x + 3\operatorname{tg}x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{tg}x$. Пусть $y = \operatorname{tg}x$.
$2y^2 + 3y - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к переменной $x$.
1) $\operatorname{tg}x = -2$.
$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\operatorname{tg}x = \frac{1}{2}$.
$x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi n, \quad x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Исходное уравнение: $7\operatorname{ctg}^2\frac{x}{2} + 2\operatorname{ctg}\frac{x}{2} = 5$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$7\operatorname{ctg}^2\frac{x}{2} + 2\operatorname{ctg}\frac{x}{2} - 5 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\operatorname{ctg}\frac{x}{2}$. Пусть $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{2}$.
$7y^2 + 2y - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 4 + 140 = 144$.
Корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 - 12}{14} = \frac{-14}{14} = -1$.
$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 + 12}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
Выполним обратную замену.
1) $\operatorname{ctg}\frac{x}{2} = -1$.
$\frac{x}{2} = \operatorname{arcctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$.
$x = 2 \cdot \left(\frac{3\pi}{4} + \pi n\right) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\operatorname{ctg}\frac{x}{2} = \frac{5}{7}$.
$\frac{x}{2} = \operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = 2\operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = 2\operatorname{arcctg}\left(\frac{5}{7}\right) + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.