Номер 18.2, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.2, страница 52.

18.2 a) $sin \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $cos (-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$

В) $tg (-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}};$

Г) $ctg \left(-\frac{x}{2}\right) = 1.$

а) $\sin(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Так как синус — нечетная функция, то $\sin(-a) = -\sin(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$-\sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$\sin(\frac{x}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\frac{x}{3} = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$

Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{3} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$

$\frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot ((-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k) = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos(-2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как косинус — четная функция, то $\cos(-a) = \cos(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$

Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, получаем:

$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\tg(-4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Так как тангенс — нечетная функция, то $\tg(-a) = -\tg(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$-\tg(4x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tg(4x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Общее решение уравнения $\tg(t) = a$ имеет вид $t = \arctan(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$ и $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

$4x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi k$

Поскольку $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$4x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\ctg(-\frac{x}{2}) = 1$

Так как котангенс — нечетная функция, то $\ctg(-a) = -\ctg(a)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:

$-\ctg(\frac{x}{2}) = 1$

$\ctg(\frac{x}{2}) = -1$

Общее решение уравнения $\ctg(t) = a$ имеет вид $t = \text{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = -1$.

$\frac{x}{2} = \text{arcctg}(-1) + \pi k$

Поскольку $\text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, получаем:

$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{3\pi}{4} + \pi k) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.