Номер 17.16, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.16, страница 52.

17.16 Постройте график функции:

а) $y = \sin(\arcsin x);$

б) $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(-x);$

в) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x);$

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x).$

а) $y = \sin(\arcsin x)$

Для решения этой задачи необходимо использовать определение арксинуса. По определению, $\arcsin x$ — это такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

1. Область определения функции. Функция $\arcsin x$ определена для $x \in [-1; 1]$. Следовательно, область определения всей функции $y = \sin(\arcsin x)$ также $D(y) = [-1; 1]$.

2. Упрощение выражения. По основному тригонометрическому тождеству для обратных функций, для любого $x$ из области определения арксинуса, справедливо равенство $\sin(\arcsin x) = x$.

3. Построение графика. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии, что $x \in [-1; 1]$.

Графиком этой функции является отрезок прямой $y=x$, концы которого находятся в точках с координатами $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1; -1)$ и $(1; 1)$.

б) $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(-x)$

1. Область определения функции. Функция $\operatorname{arctg} x$ определена для всех действительных чисел, то есть $D(\operatorname{arctg}) = (-\infty; +\infty)$. Следовательно, область определения для данной функции $D(y)$ также $(-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение выражения. Используем свойство нечетности функции арктангенс: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.

Подставим это свойство в исходное уравнение:

$y = \operatorname{arctg} x + (-\operatorname{arctg} x) = \operatorname{arctg} x - \operatorname{arctg} x = 0$.

3. Построение графика. Мы получили, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y$ равно 0. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = 0$.

Графиком этой функции является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=0$ (ось Ox).

в) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$

1. Область определения функции. Функция $\operatorname{arctg} x$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty; +\infty)$. Значения $\operatorname{arctg} x$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $\operatorname{tg}$ определена. Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$ есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение выражения. По определению обратной функции, для любого $x$ из области определения арктангенса справедливо тождество $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = x$.

3. Построение графика. Нам необходимо построить график функции $y = x$ на всей числовой прямой.

Графиком этой функции является прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox, то есть биссектриса первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=x$.

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x)$

1. Область определения функции. Функция $\arcsin x$ определена на отрезке $[-1; 1]$. Функция $\arcsin(-x)$ определена, когда $-1 \le -x \le 1$, что эквивалентно $1 \ge x \ge -1$, то есть $x \in [-1; 1]$. Область определения всей функции является пересечением областей определения слагаемых, то есть $D(y) = [-1; 1]$.

2. Упрощение выражения. Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Подставим это свойство в исходное уравнение:

$y = \arcsin x + (-\arcsin x) = \arcsin x - \arcsin x = 0$.

3. Построение графика. Мы получили, что для любого $x$ из отрезка $[-1; 1]$ значение функции $y$ равно 0. Таким образом, нам нужно построить график функции $y=0$ на отрезке $[-1; 1]$.

Графиком этой функции является отрезок оси абсцисс (оси Ox) от точки $(-1; 0)$ до точки $(1; 0)$, включая концы.

Ответ: Графиком функции является отрезок оси Ox с концами в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.