Номер 17.3, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.3, страница 50.

17.3 a) $ \text{arcctg } \frac{\sqrt{3}}{3} $;

б) $ \text{arcctg } 1 $;

в) $ \text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $;

г) $ \text{arcctg } 0 $.

a) Арккотангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arcctg } a$, — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = a$. Необходимо найти значение $\text{arcctg } \frac{\sqrt{3}}{3}$. Это значит, что нам нужно найти такой угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, что $\text{ctg } \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что $\text{ctg} \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, он и является искомым значением.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Необходимо найти значение $\text{arcctg } 1$. Мы ищем угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 1$. Котангенс равен единице для угла, у которого косинус и синус равны. В заданном интервале это угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Проверяем: $\text{ctg} \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (0, \pi)$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) Необходимо найти значение $\text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Для арккотангенса отрицательного аргумента существует свойство: $\text{arcctg }(-x) = \pi - \text{arcctg } x$. Используя это свойство, получаем: $\text{arcctg } \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \text{arcctg } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Из пункта а) мы уже знаем, что $\text{arcctg } \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$. Подставляем это значение: $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

г) Необходимо найти значение $\text{arcctg } 0$. Мы ищем угол $\alpha$ в интервале $(0, \pi)$, для которого $\text{ctg } \alpha = 0$. Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Это выражение равно нулю, когда числитель $\cos \alpha = 0$, а знаменатель $\sin \alpha \neq 0$. В интервале $(0, \pi)$ условию $\cos \alpha = 0$ удовлетворяет угол $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Для этого угла $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \neq 0$. Следовательно, искомое значение найдено.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$