Номер 17.1, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§17. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tg x = a, ctg x = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 17.1, страница 50.

Вычислите:

17.1 а) arctg $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

б) arctg $1$;

в) arctg $\sqrt{3}$;

г) arctg $0$.

а) Арктангенсом числа $a$ ($arctg(a)$) называется такой угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Таким образом, нам нужно найти угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как значение угла $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$

б) Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = 1$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Так как значение угла $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = \sqrt{3}$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Так как значение угла $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\alpha) = 0$.
Тангенс равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при угле, равном $0$ радиан (в рассматриваемом интервале).
$tg(0) = 0$.
Так как значение угла $0$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(0) = 0$.
Ответ: $0$