Номер 16.15, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.15, страница 49.

Решите уравнение:

16.15 а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0;$

б) $2 \cos x - 3 \sin x \cos x = 0;$

в) $4 \sin^2 x - 3 \sin x = 0;$

г) $2 \sin^2 x - 1 = 0.$

а) $(2 \cos x + 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2 \cos x + 1 = 0$

$2 \cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2 \sin x - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin x = \sqrt{3}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos x - 3 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2 - 3 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $2 - 3 \sin x = 0$

$3 \sin x = 2$

$\sin x = \frac{2}{3}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $4 \sin^2 x - 3 \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (4 \sin x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $4 \sin x - 3 = 0$

$4 \sin x = 3$

$\sin x = \frac{3}{4}$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2 \sin^2 x - 1 = 0$

Преобразуем уравнение. Можно выразить $\sin^2 x$, но удобнее использовать формулу косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Умножим исходное уравнение на -1:

$-(2 \sin^2 x - 1) = 0$

$1 - 2 \sin^2 x = 0$

Заменяем левую часть по формуле:

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решаем его:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.