Номер 16.11, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.11, страница 48.

Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

16.11 a) $\sin x = \frac{1}{2}$, $x \in [0; 2\pi]$;

б) $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x \in [-\pi; \pi]$;

в) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x \in [-\pi; 2\pi]$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $x \in [-2\pi; \pi]$.

а) Требуется найти корни уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.
Общая формула для корней уравнения $sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{1}{2}$, и $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[0; 2\pi]$.
1. При $k=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[0; 2\pi]$.
2. При $k=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$. Этот корень входит в промежуток $[0; 2\pi]$.
3. При $k=2$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$. Этот корень больше, чем $2\pi$, и не входит в промежуток.
При других целых значениях $k$ корни также будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.

б) Требуется найти корни уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.
Общая формула для корней уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{1}{2}$, и $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.
1. При $k=0$: $x_1 = \frac{2\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{2\pi}{3}$. Оба корня принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.
2. При $k=1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Оба корня больше $\pi$.
3. При $k=-1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$. Оба корня меньше $-\pi$.
При других целых значениях $k$ корни также будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.

в) Требуется найти корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; 2\pi]$.
Общая формула для корней уравнения $sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, общее решение: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
1. При $k=-1$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{4} + \pi(-1) = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
2. При $k=0$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
3. При $k=1$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
4. При $k=2$: $x = (-1)^3 \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$. Корень принадлежит промежутку $[-\pi; 2\pi]$.
При других целых значениях $k$ корни будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.

г) Требуется найти корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [-2\pi; \pi]$.
Общая формула для корней уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Теперь необходимо выбрать корни, которые принадлежат промежутку $[-2\pi; \pi]$.
Рассмотрим две серии корней:
1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
При $k=0$: $x = \frac{\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=-1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку, так как $-2\pi = -\frac{12\pi}{6}$.
2. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{6}$. Корень принадлежит промежутку.
При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень больше $\pi$ и не входит в промежуток.
При других целых значениях $k$ корни будут лежать вне указанного промежутка.
Ответ: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}$.