Номер 16.5, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§16. Арксинус. Решение уравнения sin t = a. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 16.5, страница 48.

16.5 Докажите тождество:

a) $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$;

б) $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$.

a) Для доказательства тождества $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$ воспользуемся свойством арккосинуса. Для любого $x$ из области определения (от -1 до 1 включительно) справедливо равенство:

$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:

$\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = \sin(\arccos x + (\pi - \arccos x))$

Теперь упростим выражение в аргументе синуса. Члены $\arccos x$ и $-\arccos x$ взаимно уничтожаются:

$\sin(\arccos x + \pi - \arccos x) = \sin(\pi)$

Как известно, значение синуса от угла $\pi$ радиан равно нулю:

$\sin(\pi) = 0$

Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\sin(\arccos x + \arccos(-x)) = 0$ доказано.

б) Для доказательства тождества $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$ воспользуемся свойством арксинуса. Арксинус является нечетной функцией, поэтому для любого $x$ из его области определения (от -1 до 1 включительно) справедливо равенство:

$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$

Подставим это выражение в левую часть доказываемого тождества:

$\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = \cos(\arcsin x + (-\arcsin x))$

Упростим выражение в аргументе косинуса. Члены $\arcsin x$ и $-\arcsin x$ взаимно уничтожаются:

$\cos(\arcsin x - \arcsin x) = \cos(0)$

Значение косинуса от 0 равно единице:

$\cos(0) = 1$

Таким образом, мы получили, что левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $\cos(\arcsin x + \arcsin(-x)) = 1$ доказано.