Номер 15.21, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.21, страница 47.

15.21 а) $ \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right); $

б) $ \sin(\arccos(-0,8)). $

а)

Для вычисления значения выражения $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$ введем обозначение. Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$.

По определению арккосинуса, это равенство означает, что $\cos(\alpha) = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Нам необходимо найти $\sin(\alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим в тождество известное значение $\cos(\alpha)$: $\sin^2(\alpha) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$

Выполним вычисления: $\sin^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1$
$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{25 - 9}{25}$
$\sin^2(\alpha) = \frac{16}{25}$

Отсюда $\sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

Чтобы выбрать правильный знак, вернемся к области значений арккосинуса. Мы знаем, что $\alpha \in [0; \pi]$. На этом промежутке синус принимает неотрицательные значения, то есть $\sin(\alpha) \ge 0$. Поскольку $\cos(\alpha) = \frac{3}{5}$ — положительное число, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где синус также положителен.

Следовательно, выбираем значение со знаком плюс: $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б)

Для вычисления значения выражения $\sin(\arccos(-0,8))$ поступим аналогично. Пусть $\beta = \arccos(-0,8)$.

По определению, это означает, что $\cos(\beta) = -0,8$ и угол $\beta$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Снова используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$.

Подставляем известное значение $\cos(\beta)$: $\sin^2(\beta) + (-0,8)^2 = 1$.

Вычисляем: $\sin^2(\beta) + 0,64 = 1$
$\sin^2(\beta) = 1 - 0,64$
$\sin^2(\beta) = 0,36$

Отсюда $\sin(\beta) = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.

Определим знак синуса. Угол $\beta$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. На этом промежутке $\sin(\beta) \ge 0$. Более точно, так как $\cos(\beta) = -0,8$ — отрицательное число, угол $\beta$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \le \beta \le \pi$), где синус положителен.

Следовательно, выбираем положительное значение: $\sin(\beta) = 0,6$.

Ответ: $0,6$.