Номер 15.16, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.16, страница 46.

15.16 Постройте график функции:

а) $y = \arccos x + \arccos(-x)$;

б) $y = \cos(\arccos x)$.

а) $y = \arccos x + \arccos(-x)$

1. Область определения функции. Функция арккосинус, $\arccos(u)$, определена для всех $u$ таких, что $-1 \le u \le 1$.

Для слагаемого $\arccos x$ должно выполняться условие $-1 \le x \le 1$.

Для слагаемого $\arccos(-x)$ должно выполняться условие $-1 \le -x \le 1$. Умножив это неравенство на -1 и изменив знаки неравенства на противоположные, получим $1 \ge x \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$.

Область определения всей функции $D(y)$ является пересечением этих двух условий, то есть $x \in [-1, 1]$.

2. Упрощение выражения. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством для арккосинуса: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$. Это тождество справедливо для всех $x \in [-1, 1]$.

Подставим это тождество в исходное уравнение функции:

$y = \arccos x + (\pi - \arccos x)$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$y = \pi$

3. Анализ и построение графика. Мы выяснили, что для всех $x$ из области определения $[-1, 1]$ функция принимает постоянное значение, равное $\pi$.

Следовательно, графиком функции является отрезок прямой, параллельной оси абсцисс (оси Ox) и проходящей через точку $(0, \pi)$ на оси ординат. Концами этого отрезка являются точки с координатами $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$, поскольку область определения функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=\pi$, где $x \in [-1, 1]$. Это горизонтальный отрезок с концами в точках $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$.

б) $y = \cos(\arccos x)$

1. Область определения функции. Область определения этой функции совпадает с областью определения внутренней функции $\arccos x$.

Функция $\arccos x$ определена при $x \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения для всей функции $y = \cos(\arccos x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

2. Упрощение выражения. По определению обратной тригонометрической функции, $\arccos x$ — это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $x$.

То есть, если мы обозначим $\alpha = \arccos x$, то по определению будет верно, что $\cos(\alpha) = x$.

Подставляя $\arccos x$ обратно вместо $\alpha$, мы получаем тождество:

$\cos(\arccos x) = x$

Это равенство справедливо для всех $x$ из области определения, то есть для $x \in [-1, 1]$.

3. Анализ и построение графика. Мы получили, что на всей своей области определения функция тождественно равна $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая линия, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси Ox. Однако, поскольку наша функция определена только на отрезке $[-1, 1]$, её графиком будет не вся прямая, а только её отрезок. Концами этого отрезка являются точки, соответствующие концам области определения: $x = -1$ (тогда $y = -1$) и $x = 1$ (тогда $y = 1$).

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=x$, где $x \in [-1, 1]$. Это отрезок, соединяющий точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.