Номер 15.7, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.7, страница 45.

15.7 a) $\cos t = \frac{1}{3}$;

б) $\cos t = -1,1$;

В) $\cos t = -\frac{3}{7}$;

Г) $\cos t = 2,04$.

а)

Дано уравнение $\cos t = \frac{1}{3}$.
Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку значение $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $|a| \le 1$, то есть $-1 \le \frac{1}{3} \le 1$, уравнение имеет решения.
Общая формула для нахождения решений уравнения $\cos t = a$ выглядит так: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).
Подставив в эту формулу значение $a = \frac{1}{3}$, получаем: $t = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos t = -1,1$.
Функция косинуса определена на всей числовой прямой, а её область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного числа $t$ выполняется неравенство $-1 \le \cos t \le 1$.
Число $-1,1$ не принадлежит этому отрезку, так как $-1,1 < -1$.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дано уравнение $\cos t = -\frac{3}{7}$.
Проверим, принадлежит ли значение $a = -\frac{3}{7}$ области значений функции косинус. Так как $|-\frac{3}{7}| = \frac{3}{7} < 1$, то $-1 \le -\frac{3}{7} \le 1$. Следовательно, уравнение имеет решения.
Применяем общую формулу для решения уравнений вида $\cos t = a$: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляем $a = -\frac{3}{7}$ и получаем: $t = \pm \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pm \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\cos t = 2,04$.
Как и в пункте б), мы должны сравнить значение в правой части уравнения с областью значений функции косинуса, которая является отрезком $[-1, 1]$.
Число $2,04$ не принадлежит этому отрезку, так как $2,04 > 1$.
Поэтому данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.