Номер 15.3, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.3, страница 44.

15.3 a) $\arccos(-1) + \arccos 0;$

Б) $\arccos \frac{1}{2} - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2};$

В) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2};$

Г) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos \frac{1}{2}.$

а) $\arccos(-1) + \arccos(0)$

По определению арккосинуса, $\arccos(a)$ – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos(\alpha) = a$.
Найдем значение каждого слагаемого:

1. $\arccos(-1)$. Нам нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$. Этим углом является $\pi$. Таким образом, $\arccos(-1) = \pi$.

2. $\arccos(0)$. Нам нужно найти угол $\beta \in [0; \pi]$, для которого $\cos(\beta) = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, $\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$.

Теперь сложим полученные значения:
$\arccos(-1) + \arccos(0) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

б) $\arccos\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем определение арккосинуса для нахождения значений табличных углов.

1. $\arccos\frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $\frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь выполним вычитание:
$\arccos\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

в) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого примера можно использовать свойство арккосинуса: $\arccos(-x) + \arccos(x) = \pi$ для любого $x \in [-1; 1]$.

В нашем случае $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi$.

Можно также решить, вычисляя каждое слагаемое по отдельности:

1. $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

2. Для нахождения $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Складываем результаты:
$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Ответ: $\pi$

г) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2}$

Для решения этого примера используем значения арккосинусов и свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

1. Найдем значение $\arccos\frac{1}{2}$. Угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{3}$.
$\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

2. Найдем значение $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$ с помощью формулы:
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь выполним вычитание:
$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) - \arccos\frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$