Номер 14.20, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§14. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики. Глава 2. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 14.20, страница 43.

14.20 a) $y = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right);$

Б) $y = \operatorname{ctg}x + 1;$

В) $y = \operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

Г) $y = \operatorname{ctg}x - 2.$

а) $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Данное уравнение задает функцию, график которой можно получить из графика базовой функции $y = \text{ctg } x$ с помощью преобразований. Также выражение можно упростить, используя тригонометрические формулы.

1. Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x+a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг выполняется влево на $a$ единиц. В данном случае $a = \frac{\pi}{2} > 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$ единиц.

2. Упрощение выражения:

Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $\text{ctg}\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\text{tg } \alpha$.

Применив эту формулу к нашей функции, получаем:

$y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\text{tg } x$.

Таким образом, график исходной функции полностью совпадает с графиком функции $y = -\text{tg } x$. Этот график, в свою очередь, является зеркальным отражением графика $y = \text{tg } x$ относительно оси Ox.

Ответ: Функция $y = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ может быть упрощена до $y = -\text{tg } x$. Ее график получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$, что эквивалентно отражению графика $y = \text{tg } x$ относительно оси абсцисс.

б) $y = \text{ctg } x + 1$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{ctg } x$.

Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (Oy). Если $b > 0$, сдвиг выполняется вверх на $b$ единиц. В нашем случае $b = 1 > 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg } x + 1$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом вверх на 1 единицу.

Дальнейшее упрощение данного выражения невозможно.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x + 1$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

в) $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{ctg } x$.

Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x - a)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a > 0$, сдвиг выполняется вправо на $a$ единиц. В нашем случае $a = \frac{\pi}{3} > 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Дальнейшее упрощение данного выражения с помощью стандартных формул приведения невозможно.

Ответ: График функции $y = \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{3}$ единиц вправо вдоль оси Ox.

г) $y = \text{ctg } x - 2$

Данная функция является преобразованием базовой функции $y = \text{ctg } x$.

Геометрическое преобразование:

График функции $y = f(x) + b$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (Oy). Если $b < 0$, сдвиг выполняется вниз на $|b|$ единиц. В нашем случае $b = -2 < 0$, следовательно, график функции $y = \text{ctg } x - 2$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ сдвигом вниз на 2 единицы.

Дальнейшее упрощение данного выражения невозможно.

Ответ: График функции $y = \text{ctg } x - 2$ получается из графика $y = \text{ctg } x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.