Номер 15.1, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§15. Арккосинус. Решение уравнения cos t =а. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 15.1, страница 44.

Вычислите:

15.1 a) $\arccos 0$;

б) $\arccos 1$;

в) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\arccos -\frac{1}{2}$.

Арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это такое число $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Другими словами, равенство $\arccos a = \alpha$ означает, что выполняются два условия одновременно: $\cos \alpha = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

а)

Требуется вычислить $\arccos 0$.
Пусть $\arccos 0 = \alpha$. Согласно определению, нам нужно найти такой угол $\alpha$, для которого:
1. $\cos \alpha = 0$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Общее решение уравнения $\cos \alpha = 0$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.
Теперь выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
Если $k=0$, то $\alpha = \frac{\pi}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$.
Если $k=1$, то $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, что больше $\pi$.
Если $k=-1$, то $\alpha = -\frac{\pi}{2}$, что меньше $0$.
Следовательно, единственное подходящее значение — это $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

б)

Требуется вычислить $\arccos 1$.
Пусть $\arccos 1 = \alpha$. Тогда должны выполняться условия:
1. $\cos \alpha = 1$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Общее решение уравнения $\cos \alpha = 1$ имеет вид $\alpha = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
Если $k=0$, то $\alpha = 0$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le 0 \le \pi$.
При любых других целых $k$ значение $\alpha$ будет выходить за пределы отрезка $[0; \pi]$.
Следовательно, $\arccos 1 = 0$.

Ответ: $0$

в)

Требуется вычислить $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Пусть $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \alpha$. По определению:
1. $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Это табличное значение косинуса. Общее решение уравнения $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет вид $\alpha = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При $k=0$ получаем два значения: $\alpha = \frac{\pi}{6}$ и $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.
Значение $\alpha = \frac{\pi}{6}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{6} \le \pi$.
Значение $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При других целых $k$ решения также не попадают в искомый отрезок.
Таким образом, $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

г)

Требуется вычислить $\arccos \frac{1}{2}$.
Пусть $\arccos \frac{1}{2} = \alpha$. По определению:
1. $\cos \alpha = \frac{1}{2}$
2. $0 \le \alpha \le \pi$
Это также табличное значение. Общее решение уравнения $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ имеет вид $\alpha = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Выберем из этой серии решений то, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При $k=0$ получаем два значения: $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\alpha = -\frac{\pi}{3}$.
Значение $\alpha = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$.
Значение $\alpha = -\frac{\pi}{3}$ не принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
При других целых $k$ решения также не попадают в искомый отрезок.
Следовательно, $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$