Номер 18.18, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.18, страница 55.

18.18 Решите уравнение $sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Сначала решим исходное уравнение $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Аргумент синуса должен быть равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Выразим $x$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Разделив обе части на 2, получим общее решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, используя эту формулу, ответим на вопросы.

а) наименьший положительный корень;

Для нахождения наименьшего положительного корня нужно найти наименьшее целое $k$, при котором $x > 0$.

$-\frac{\pi}{8} + \pi k > 0$

$\pi k > \frac{\pi}{8}$

$k > \frac{1}{8}$

Наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=1$.

Подставим $k=1$ в общую формулу корней:

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{-\pi + 8\pi}{8} = \frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{8}$.

б) корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

Для нахождения корней на заданном отрезке решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{8} + \pi k \le \frac{3\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{8} + k \le \frac{3}{2}$

Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \le k \le \frac{3}{2} + \frac{1}{8}$

$-\frac{4}{8} + \frac{1}{8} \le k \le \frac{12}{8} + \frac{1}{8}$

$-\frac{3}{8} \le k \le \frac{13}{8}$

В этот промежуток попадают целые значения $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.

При $k=1$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{8}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}; \frac{7\pi}{8}$.

в) наибольший отрицательный корень;

Для нахождения наибольшего отрицательного корня нужно найти наибольшее целое $k$, при котором $x < 0$.

$-\frac{\pi}{8} + \pi k < 0$

$\pi k < \frac{\pi}{8}$

$k < \frac{1}{8}$

Наибольшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=0$.

Подставим $k=0$ в общую формулу корней:

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Для нахождения корней на заданном интервале решим двойное неравенство:

$-\pi < -\frac{\pi}{8} + \pi k < \frac{\pi}{2}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-1 < -\frac{1}{8} + k < \frac{1}{2}$

Прибавим $\frac{1}{8}$ ко всем частям:

$-1 + \frac{1}{8} < k < \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$

$-\frac{7}{8} < k < \frac{5}{8}$

В этот промежуток попадает единственное целое значение $k=0$.

Найдем соответствующее значение $x$:

При $k=0$: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{8}$.

Этот корень принадлежит интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.