Номер 18.23, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.23, страница 55.

18.23 a) $\sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0;$

б) $\cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0.$

а) Решим уравнение $ \sin^2 x - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}\sin x - 3\sqrt{2} = 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \sin x $. Сделаем замену $ t = \sin x $, при условии $ |t| \le 1 $.
Уравнение примет вид: $ t^2 - \frac{12 - \sqrt{2}}{2}t - 3\sqrt{2} = 0 $.
Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$ 2t^2 - (12 - \sqrt{2})t - 6\sqrt{2} = 0 $.
Найдем дискриминант $ D $:
$ D = b^2 - 4ac = (-(12 - \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6\sqrt{2}) = (12 - \sqrt{2})^2 + 48\sqrt{2} $.
$ D = 144 - 24\sqrt{2} + 2 + 48\sqrt{2} = 146 + 24\sqrt{2} $.
Заметим, что $ 146 + 24\sqrt{2} = 144 + 2 \cdot 12 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (12 + \sqrt{2})^2 $.
Следовательно, $ \sqrt{D} = 12 + \sqrt{2} $.
Корни для $t$ находятся по формуле:
$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{2} \pm (12 + \sqrt{2})}{4} $.
$ t_1 = \frac{12 - \sqrt{2} + 12 + \sqrt{2}}{4} = \frac{24}{4} = 6 $.
$ t_2 = \frac{12 - \sqrt{2} - (12 + \sqrt{2})}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1. $ \sin x = t_1 = 6 $. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $ [-1; 1] $, а $ 6 > 1 $.
2. $ \sin x = t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Общее решение этого уравнения:
$ x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \cos^2 x - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}\cos x - 2\sqrt{3} = 0 $.
Это квадратное уравнение относительно $ \cos x $. Сделаем замену $ y = \cos x $, при условии $ |y| \le 1 $.
Уравнение примет вид: $ y^2 - \frac{8 - \sqrt{3}}{2}y - 2\sqrt{3} = 0 $.
Умножим все члены уравнения на 2:
$ 2y^2 - (8 - \sqrt{3})y - 4\sqrt{3} = 0 $.
Найдем дискриминант $ D $:
$ D = b^2 - 4ac = (-(8 - \sqrt{3}))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4\sqrt{3}) = (8 - \sqrt{3})^2 + 32\sqrt{3} $.
$ D = 64 - 16\sqrt{3} + 3 + 32\sqrt{3} = 67 + 16\sqrt{3} $.
Заметим, что $ 67 + 16\sqrt{3} = 64 + 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (8 + \sqrt{3})^2 $.
Следовательно, $ \sqrt{D} = 8 + \sqrt{3} $.
Корни для $y$ находятся по формуле:
$ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{3} \pm (8 + \sqrt{3})}{4} $.
$ y_1 = \frac{8 - \sqrt{3} + 8 + \sqrt{3}}{4} = \frac{16}{4} = 4 $.
$ y_2 = \frac{8 - \sqrt{3} - (8 + \sqrt{3})}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1. $ \cos x = y_1 = 4 $. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1; 1] $, а $ 4 > 1 $.
2. $ \cos x = y_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Общее решение этого уравнения:
$ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n $.
Так как $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $, то:
$ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.