Номер 18.29, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.29, страница 56.

18.29 а) $3 \sin^2 2x - 2 = \sin 2x \cos 2x;$

б) $2 \sin^2 4x - 4 = 3 \sin 4x \cos 4x - 4 \cos^2 4x.$

а)

Дано уравнение $3\sin^2{2x} - 2 = \sin{2x} \cos{2x}$.

Это тригонометрическое уравнение. Для его решения приведем его к однородному виду. Для этого заменим число -2, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$.

$3\sin^2{2x} - 2(\sin^2{2x} + \cos^2{2x}) = \sin{2x} \cos{2x}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, перенеся все в левую часть:

$3\sin^2{2x} - 2\sin^2{2x} - 2\cos^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} = 0$

$\sin^2{2x} - \sin{2x} \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, может ли $\cos{2x}$ быть равен нулю. Если $\cos{2x}=0$, то из уравнения следует, что $\sin^2{2x}=0$, то есть $\sin{2x}=0$. Однако $\sin{2x}$ и $\cos{2x}$ не могут быть одновременно равны нулю, так как $\sin^2{2x} + \cos^2{2x} = 1$. Следовательно, $\cos{2x} \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2{2x}$:

$\frac{\sin^2{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{\sin{2x} \cos{2x}}{\cos^2{2x}} - \frac{2\cos^2{2x}}{\cos^2{2x}} = 0$

$\tan^2{2x} - \tan{2x} - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan{2x}$. Уравнение примет вид:

$t^2 - t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\tan{2x} = 2$

$2x = \arctan{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\arctan{2}}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan{2x} = -1$

$2x = \arctan(-1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\arctan{2}}{2} + \frac{\pi n}{2}$, $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $2\sin^2{4x} - 4 = 3\sin{4x} \cos{4x} - 4\cos^2{4x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} + 4\cos^2{4x} - 4 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ для замены числа -4:

$2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} + 4\cos^2{4x} - 4(\sin^2{4x} + \cos^2{4x}) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} + 4\cos^2{4x} - 4\sin^2{4x} - 4\cos^2{4x} = 0$

$-2\sin^2{4x} - 3\sin{4x} \cos{4x} = 0$

Вынесем общий множитель $-\sin{4x}$ за скобки:

$-\sin{4x}(2\sin{4x} + 3\cos{4x}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $\sin{4x} = 0$

$4x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin{4x} + 3\cos{4x} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Как и в пункте а), можно показать, что $\cos{4x} \neq 0$, так как если $\cos{4x} = 0$, то и $\sin{4x}$ должен быть равен нулю, что невозможно. Разделим обе части на $\cos{4x}$:

$2\frac{\sin{4x}}{\cos{4x}} + 3\frac{\cos{4x}}{\cos{4x}} = 0$

$2\tan{4x} + 3 = 0$

$2\tan{4x} = -3$

$\tan{4x} = -\frac{3}{2}$

$4x = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$4x = -\arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$

$x = -\frac{\arctan(3/2)}{4} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$, $x = -\frac{\arctan(3/2)}{4} + \frac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.