Номер 18.27, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§18. Решение тригонометрических уравнений. Глава 3. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 18.27, страница 56.
№18.27 (с. 56)
Условие. №18.27 (с. 56)
скриншот условия

18.27 a) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2;$
б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2;$
в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3;$
г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3.$
Решение 1. №18.27 (с. 56)

Решение 2. №18.27 (с. 56)



Решение 3. №18.27 (с. 56)

Решение 5. №18.27 (с. 56)




Решение 6. №18.27 (с. 56)
а) $5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2$
Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Для его решения представим правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:
$5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:
$5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$
Приведем подобные слагаемые, чтобы получить однородное уравнение второй степени:
$3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$
Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в уравнение, получим $ 3 \cdot 1 - 14 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 3 $, что не равно $0$. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:
$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 14\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 5\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$3\tan^2 x - 14\tan x - 5 = 0$
Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 - 14t - 5 = 0$
Найдем его корни через дискриминант:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
$t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$
$t_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$t_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Вернемся к замене:
1) $ \tan x = 5 \implies x = \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ \tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
б) $3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2$
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ для правой части:
$3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:
$3\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$
Приведем подобные члены:
$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Проверим случай $ \cos x = 0 $. Тогда $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение примет вид $ 1 - 0 - 0 = 1 \neq 0 $. Значит, $ \cos x \neq 0 $. Разделим уравнение на $ \cos^2 x $:
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$
Пусть $ t = \tan x $, тогда получаем квадратное уравнение $ t^2 - t - 2 = 0 $. По теореме Виета, его корни:
$t_1 = 2, \quad t_2 = -1$
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $ \tan x = 2 \implies x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
в) $2\cos^2 x - \sin x \cos x + 5\sin^2 x = 3$
Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:
$5\sin^2 x - \sin x \cos x + 2\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$
Перенесем все в левую часть и упростим:
$(5-3)\sin^2 x - \sin x \cos x + (2-3)\cos^2 x = 0$
$2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
Так как $ \cos x = 0 $ не является решением (проверка: $ 2 \cdot 1 - 0 - 0 = 2 \neq 0 $), разделим обе части на $ \cos^2 x $:
$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$
Пусть $ t = \tan x $. Решим квадратное уравнение $ 2t^2 - t - 1 = 0 $.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$
$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$
$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Находим $x$:
1) $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ \tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
г) $4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3$
Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:
$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$
Перенесем все в левую часть и приведем подобные:
$(4-3)\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
$\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Проверка случая $ \cos x = 0 $ дает $ 1 \neq 0 $, поэтому $ \cos x \neq 0 $. Делим на $ \cos^2 x $:
$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$
Пусть $ t = \tan x $. Решаем уравнение $ t^2 - 2t - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни:
$t_1 = 3, \quad t_2 = -1$
Находим $x$:
1) $ \tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 18.27 расположенного на странице 56 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.27 (с. 56), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.