Номер 18.27, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 3. Тригонометрические уравнения. §18. Решение тригонометрических уравнений - номер 18.27, страница 56.

Условие.

18.27 a) $5 \sin^2 x - 14 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 2;$

б) $3 \sin^2 x - \sin x \cos x = 2;$

в) $2 \cos^2 x - \sin x \cos x + 5 \sin^2 x = 3;$

г) $4 \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением. Для его решения представим правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$5\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 3\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые, чтобы получить однородное уравнение второй степени:

$3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0$

Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставив в уравнение, получим $ 3 \cdot 1 - 14 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 5 \cdot 0 = 3 $, что не равно $0$. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 14\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 5\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$3\tan^2 x - 14\tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $ t = \tan x $. Получим квадратное уравнение:

$3t^2 - 14t - 5 = 0$

Найдем его корни через дискриминант:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

$t_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$

$t_1 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$

$t_2 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Вернемся к замене:

1) $ \tan x = 5 \implies x = \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \arctan 5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ для правой части:

$3\sin^2 x - \sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$3\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0$

Приведем подобные члены:

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$

Проверим случай $ \cos x = 0 $. Тогда $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение примет вид $ 1 - 0 - 0 = 1 \neq 0 $. Значит, $ \cos x \neq 0 $. Разделим уравнение на $ \cos^2 x $:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 2\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$

Пусть $ t = \tan x $, тогда получаем квадратное уравнение $ t^2 - t - 2 = 0 $. По теореме Виета, его корни:

$t_1 = 2, \quad t_2 = -1$

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $ \tan x = 2 \implies x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) $2\cos^2 x - \sin x \cos x + 5\sin^2 x = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$5\sin^2 x - \sin x \cos x + 2\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все в левую часть и упростим:

$(5-3)\sin^2 x - \sin x \cos x + (2-3)\cos^2 x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Так как $ \cos x = 0 $ не является решением (проверка: $ 2 \cdot 1 - 0 - 0 = 2 \neq 0 $), разделим обе части на $ \cos^2 x $:

$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Пусть $ t = \tan x $. Решим квадратное уравнение $ 2t^2 - t - 1 = 0 $.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Находим $x$:

1) $ \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3$

Заменим $3$ на $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все в левую часть и приведем подобные:

$(4-3)\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

$\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Проверка случая $ \cos x = 0 $ дает $ 1 \neq 0 $, поэтому $ \cos x \neq 0 $. Делим на $ \cos^2 x $:

$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$

Пусть $ t = \tan x $. Решаем уравнение $ t^2 - 2t - 3 = 0 $. По теореме Виета, корни:

$t_1 = 3, \quad t_2 = -1$

Находим $x$:

1) $ \tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.